Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.findet, der Werth von
[Formel 1]
äqual wird dem Wir nehmen an, dass die Dichtigkeit k sich innerhalb t Es sei t' der Raum, in welchen t übergeht, wenn die erste das Integral (1), ausgedehnt über t0 l über th l das Integral (3) ausgedehnt über t0 l' über th' l' so wird X = l + l, X + x = l' + l'. findet, der Werth von
[Formel 1]
äqual wird dem Wir nehmen an, daſs die Dichtigkeit k sich innerhalb t Es sei t' der Raum, in welchen t übergeht, wenn die erste das Integral (1), ausgedehnt über t0 l über θ λ das Integral (3) ausgedehnt über t0 l' über θ' λ' so wird X = l + λ, X + ξ = l' + λ'. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <p><pb facs="#f0016" n="11"/> findet, der Werth von <formula/> äqual wird dem<lb/> Producte aus — 4<hi rendition="#i">π</hi> in die in <hi rendition="#i">O</hi> Statt findende Dichtigkeit.<lb/> Die befriedigendste Art, diesen wichtigen Lehrsatz zu begrün-<lb/> den, scheint folgende zu sein.</p><lb/> <p>Wir nehmen an, daſs die Dichtigkeit <hi rendition="#i">k</hi> sich innerhalb <hi rendition="#i">t</hi><lb/> nirgends sprungsweise ändere, oder daſs sie eine mit <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">a, b, c</hi>)<lb/> zu bezeichnende Function von <hi rendition="#i">a, b, c</hi> sei, deren Werth sich<lb/> innerhalb <hi rendition="#i">t</hi> überall nach der Stetigkeit ändert, auſserhalb <hi rendition="#i">t</hi> hin-<lb/> gegen = 0 wird.</p><lb/> <p>Es sei <hi rendition="#i">t</hi>' der Raum, in welchen <hi rendition="#i">t</hi> übergeht, wenn die erste<lb/> Coordinate jedes Punktes der Grenzfläche um die Grösse <hi rendition="#i">e</hi> ver-<lb/> mindert, oder was dasselbe ist, wenn die Grenzfläche parallel<lb/> mit der ersten Coordinatenaxe um <hi rendition="#i">e</hi> rückwärts bewegt wird;<lb/> es bestehe <hi rendition="#i">t</hi> aus den Räumen <hi rendition="#i">t</hi><hi rendition="#sup">0</hi> und <hi rendition="#i">θ, t</hi>' aus <hi rendition="#i">t</hi><hi rendition="#sup">0</hi> und <hi rendition="#i">θ</hi>',<lb/> so daſs <hi rendition="#i">t</hi><hi rendition="#sup">0</hi> der ganze Raum ist, welcher <hi rendition="#i">t</hi> und <hi rendition="#i">t</hi>' gemeinschaft-<lb/> lich bleibt. Wir betrachten die drei Integrale<lb/><hi rendition="#et"><formula/> (1)<lb/><formula/> (2)<lb/><formula/> (3)</hi><lb/> wo das Integral (1) über den ganzen Raum <hi rendition="#i">t</hi> ausgedehnt der<lb/> Werth von <formula/> oder <hi rendition="#i">X</hi> in dem Punkte <hi rendition="#i">O</hi> sein wird. Das In-<lb/> tegral (2) gleichfalls über ganz <hi rendition="#i">t</hi> ausgedehnt wird der Werth<lb/> von <formula/> in demjenigen Punkte sein, dessen Coordinaten <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">e, y, z</hi><lb/> sind, welchen Werth wir mit <hi rendition="#i">X</hi> + <hi rendition="#i">ξ</hi> bezeichnen wollen. Of-<lb/> fenbar ist mit diesem Integrale ganz identisch das Integral (3)<lb/> über den ganzen Raum <hi rendition="#i">t</hi>' ausgedehnt. Ist also</p><lb/> <list> <item>das Integral (1), ausgedehnt über <hi rendition="#i">t</hi><hi rendition="#sup">0</hi> <space dim="horizontal"/> <hi rendition="#i">l</hi></item><lb/> <item> <hi rendition="#et">über <hi rendition="#i">θ <space dim="horizontal"/> λ</hi></hi> </item><lb/> <item>das Integral (3) ausgedehnt über <hi rendition="#i">t</hi><hi rendition="#sup">0</hi> <space dim="horizontal"/> <hi rendition="#i">l</hi>'</item><lb/> <item> <hi rendition="#et">über <hi rendition="#i">θ</hi>' <space dim="horizontal"/> <hi rendition="#i">λ</hi>'</hi> </item> </list><lb/> <p>so wird <hi rendition="#i">X</hi> = <hi rendition="#i">l</hi> + <hi rendition="#i">λ, X</hi> + <hi rendition="#i">ξ</hi> = <hi rendition="#i">l</hi>' + <hi rendition="#i">λ</hi>'.</p><lb/> </div> </body> </text> </TEI> [11/0016]
findet, der Werth von [FORMEL] äqual wird dem
Producte aus — 4π in die in O Statt findende Dichtigkeit.
Die befriedigendste Art, diesen wichtigen Lehrsatz zu begrün-
den, scheint folgende zu sein.
Wir nehmen an, daſs die Dichtigkeit k sich innerhalb t
nirgends sprungsweise ändere, oder daſs sie eine mit f (a, b, c)
zu bezeichnende Function von a, b, c sei, deren Werth sich
innerhalb t überall nach der Stetigkeit ändert, auſserhalb t hin-
gegen = 0 wird.
Es sei t' der Raum, in welchen t übergeht, wenn die erste
Coordinate jedes Punktes der Grenzfläche um die Grösse e ver-
mindert, oder was dasselbe ist, wenn die Grenzfläche parallel
mit der ersten Coordinatenaxe um e rückwärts bewegt wird;
es bestehe t aus den Räumen t0 und θ, t' aus t0 und θ',
so daſs t0 der ganze Raum ist, welcher t und t' gemeinschaft-
lich bleibt. Wir betrachten die drei Integrale
[FORMEL] (1)
[FORMEL] (2)
[FORMEL] (3)
wo das Integral (1) über den ganzen Raum t ausgedehnt der
Werth von [FORMEL] oder X in dem Punkte O sein wird. Das In-
tegral (2) gleichfalls über ganz t ausgedehnt wird der Werth
von [FORMEL] in demjenigen Punkte sein, dessen Coordinaten x + e, y, z
sind, welchen Werth wir mit X + ξ bezeichnen wollen. Of-
fenbar ist mit diesem Integrale ganz identisch das Integral (3)
über den ganzen Raum t' ausgedehnt. Ist also
das Integral (1), ausgedehnt über t0 l
über θ λ
das Integral (3) ausgedehnt über t0 l'
über θ' λ'
so wird X = l + λ, X + ξ = l' + λ'.
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Zitationshilfe: | Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 11. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/16>, abgerufen am 29.07.2024. |