Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z,
also die Entfernung von jenem Element
[Formel 1] Es wird folglich
[Formel 2] durch den ganzen Raum t ausgedehnt, was eine dreifache In-
tegration implicirt. Man sieht leicht, dass eine wahre Integra-
tion stattnehmig ist, auch wenn O innerhalb des Raumes sich
befindet, obgleich dann [Formel 3] für die unendlich nahe bei O lie-
genden Elemente unendlich gross wird. Denn wenn man an-
statt a, b, c Polarcoordinaten einführt, indem man
a = x + r cos u, b = y + r sin u cos l, c = z + r sin u sin l
setzt, so wird dt = r r sin u . d u . d l . d r, mithin
V = integralintegralintegral kr sin u . d u . d l . d r
wo die Integration in Beziehung auf r von r = o bis zu dem
an der Grenze von t Statt findendenden Werthe, von l = o bis
l = 2n, und von u = o bis u = n ausgedehnt werden muss.
Es wird also nothwendig V einen bestimmten endlichen Werth
erhalten.

Man sieht ferner leicht ein, dass man auch hier
[Formel 4] setzen darf. Die Befugniss dazu beruhet darauf, dass auch
dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi-
naten in
[Formel 5] übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also X einen be-
stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit
ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei O liegenden Ele-
mente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus
ähnlichen Gründen darf man auch
[Formel 6]

das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z,
also die Entfernung von jenem Element
[Formel 1] Es wird folglich
[Formel 2] durch den ganzen Raum t ausgedehnt, was eine dreifache In-
tegration implicirt. Man sieht leicht, daſs eine wahre Integra-
tion stattnehmig ist, auch wenn O innerhalb des Raumes sich
befindet, obgleich dann [Formel 3] für die unendlich nahe bei O lie-
genden Elemente unendlich groſs wird. Denn wenn man an-
statt a, b, c Polarcoordinaten einführt, indem man
a = x + r cos u, b = y + r sin u cos λ, c = z + r sin u sin λ
setzt, so wird dt = r r sin u . d u . d λ . d r, mithin
V = ∫∫∫ kr sin u . d u . d λ . d r
wo die Integration in Beziehung auf r von r = o bis zu dem
an der Grenze von t Statt findendenden Werthe, von λ = o bis
λ = 2n, und von u = o bis u = n ausgedehnt werden muſs.
Es wird also nothwendig V einen bestimmten endlichen Werth
erhalten.

Man sieht ferner leicht ein, daſs man auch hier
[Formel 4] setzen darf. Die Befugniſs dazu beruhet darauf, daſs auch
dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi-
naten in
[Formel 5] übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also X einen be-
stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit
ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei O liegenden Ele-
mente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus
ähnlichen Gründen darf man auch
[Formel 6] 

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <p><pb facs="#f0012" n="7"/>
das Potential in dem Punkte <hi rendition="#i">O</hi>, dessen Coordinaten <hi rendition="#i">x, y, z</hi>,<lb/>
also die Entfernung von jenem Element<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi> Es wird folglich<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi> durch den ganzen Raum <hi rendition="#i">t</hi> ausgedehnt, was eine dreifache In-<lb/>
tegration implicirt. Man sieht leicht, da&#x017F;s eine wahre Integra-<lb/>
tion stattnehmig ist, auch wenn <hi rendition="#i">O</hi> innerhalb des Raumes sich<lb/>
befindet, obgleich dann <formula/> für die unendlich nahe bei <hi rendition="#i">O</hi> lie-<lb/>
genden Elemente unendlich gro&#x017F;s wird. Denn wenn man an-<lb/>
statt <hi rendition="#i">a, b, c</hi> Polarcoordinaten einführt, indem man<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">r</hi> cos <hi rendition="#i">u, b</hi> = <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">r</hi> sin <hi rendition="#i">u</hi> cos <hi rendition="#i">&#x03BB;, c</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> + <hi rendition="#i">r</hi> sin <hi rendition="#i">u</hi> sin <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi></hi><lb/>
setzt, so wird d<hi rendition="#i">t</hi> = <hi rendition="#i">r r</hi> sin <hi rendition="#i">u</hi> . d <hi rendition="#i">u</hi> . d <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> . d <hi rendition="#i">r</hi>, mithin<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">V</hi> = <hi rendition="#i">&#x222B;&#x222B;&#x222B; kr</hi> sin <hi rendition="#i">u</hi> . d <hi rendition="#i">u</hi> . d <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> . d <hi rendition="#i">r</hi></hi><lb/>
wo die Integration in Beziehung auf <hi rendition="#i">r</hi> von <hi rendition="#i">r</hi> = <hi rendition="#i">o</hi> bis zu dem<lb/>
an der Grenze von <hi rendition="#i">t</hi> Statt findendenden Werthe, von <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> = <hi rendition="#i">o</hi> bis<lb/><hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> = 2<hi rendition="#i">n</hi>, und von <hi rendition="#i">u</hi> = <hi rendition="#i">o</hi> bis <hi rendition="#i">u</hi> = <hi rendition="#i">n</hi> ausgedehnt werden mu&#x017F;s.<lb/>
Es wird also nothwendig <hi rendition="#i">V</hi> einen bestimmten endlichen Werth<lb/>
erhalten.</p><lb/>
        <p>Man sieht ferner leicht ein, da&#x017F;s man auch hier<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi> setzen darf. Die Befugni&#x017F;s dazu beruhet darauf, da&#x017F;s auch<lb/>
dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi-<lb/>
naten in<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi> übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also <hi rendition="#i">X</hi> einen be-<lb/>
stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit<lb/>
ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei <hi rendition="#i">O</hi> liegenden Ele-<lb/>
mente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus<lb/>
ähnlichen Gründen darf man auch<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> </p>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[7/0012] das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z, also die Entfernung von jenem Element [FORMEL] Es wird folglich [FORMEL] durch den ganzen Raum t ausgedehnt, was eine dreifache In- tegration implicirt. Man sieht leicht, daſs eine wahre Integra- tion stattnehmig ist, auch wenn O innerhalb des Raumes sich befindet, obgleich dann [FORMEL] für die unendlich nahe bei O lie- genden Elemente unendlich groſs wird. Denn wenn man an- statt a, b, c Polarcoordinaten einführt, indem man a = x + r cos u, b = y + r sin u cos λ, c = z + r sin u sin λ setzt, so wird dt = r r sin u . d u . d λ . d r, mithin V = ∫∫∫ kr sin u . d u . d λ . d r wo die Integration in Beziehung auf r von r = o bis zu dem an der Grenze von t Statt findendenden Werthe, von λ = o bis λ = 2n, und von u = o bis u = n ausgedehnt werden muſs. Es wird also nothwendig V einen bestimmten endlichen Werth erhalten. Man sieht ferner leicht ein, daſs man auch hier [FORMEL] setzen darf. Die Befugniſs dazu beruhet darauf, daſs auch dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi- naten in [FORMEL] übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also X einen be- stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei O liegenden Ele- mente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus ähnlichen Gründen darf man auch [FORMEL]

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/12
Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 7. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/12>, abgerufen am 25.11.2024.