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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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der Richtung, welche die resultirende Kraft daselbst hat, so ist
[Formel 1] Die auf die Richtung von ds projicirte Kraft wird folglich
[Formel 2] .

Legen wir durch alle Punkte, in welchen das Potential V
einen constanten Werth hat, eine Fläche, so wird solche all-
gemein zu reden die Theile des Raums wo V kleiner ist, von
denen scheiden, wo V grösser ist als jener Werth. Liegt die
Linie s in dieser Fläche, oder tangirt sie wenigstens dieselbe
mit dem Element ds, so ist [Formel 3] . Falls also nicht an die-
sem Platze die Bestandtheile der ganzen Kraft einander destrui-
ren, oder p = o wird, in welchem Falle von einer Richtung
der Kraft nicht mehr die Rede sein kann, muss nothwendig
cos th = o sein, woraus wir schliessen, dass die Richtung der resul-
tirenden Kraft in jedem Punkte einer solchen Fläche gegen
diese selbst normal ist, und zwar nach derjenigen Seite des
Raumes zu, wo die grössern Werthe von V angrenzen, wenn
e = + 1 ist; nach der entgegengesetzten, wenn e = -- 1 ist.
Wir nennen eine solche Fläche eine Gleichgewichtsfläche. Da
durch jeden Punkt eine solche Fläche gelegt werden kann,
so wird die Linie s, falls sie nicht ganz in Einer Gleichge-
wichtsfläche liegt, in jedem ihrer Punkte eine andere treffen.
Durchschneidet s alle Gleichgewichtsflächen unter rechten Win-
keln, so stellt eine Tangente an jener Linie überall die Rich-
tung der Kraft, und [Formel 4] ihre Stärke dar.

Das Integral integral p cos th . ds, durch ein beliebiges Stück der
Linie s ausgedehnt, wird offenbar = e (V' -- V0), wenn V0, V'
die Werthe des Potentials für den Anfangs- und Endpunkt
bedeuten. Ist also s eine geschlossene Linie, so wird jenes In-
tegral, durch die ganze Linie erstreckt, = o werden.

5.

Es ist von selbst klar, dass das Potential in jedem Punkte

der Richtung, welche die resultirende Kraft daselbst hat, so ist
[Formel 1] Die auf die Richtung von ds projicirte Kraft wird folglich
[Formel 2] .

Legen wir durch alle Punkte, in welchen das Potential V
einen constanten Werth hat, eine Fläche, so wird solche all-
gemein zu reden die Theile des Raums wo V kleiner ist, von
denen scheiden, wo V gröſser ist als jener Werth. Liegt die
Linie s in dieser Fläche, oder tangirt sie wenigstens dieselbe
mit dem Element ds, so ist [Formel 3] . Falls also nicht an die-
sem Platze die Bestandtheile der ganzen Kraft einander destrui-
ren, oder p = o wird, in welchem Falle von einer Richtung
der Kraft nicht mehr die Rede sein kann, muſs nothwendig
cos θ = o sein, woraus wir schlieſsen, daſs die Richtung der resul-
tirenden Kraft in jedem Punkte einer solchen Fläche gegen
diese selbst normal ist, und zwar nach derjenigen Seite des
Raumes zu, wo die gröſsern Werthe von V angrenzen, wenn
ε = + 1 ist; nach der entgegengesetzten, wenn ε = — 1 ist.
Wir nennen eine solche Fläche eine Gleichgewichtsfläche. Da
durch jeden Punkt eine solche Fläche gelegt werden kann,
so wird die Linie s, falls sie nicht ganz in Einer Gleichge-
wichtsfläche liegt, in jedem ihrer Punkte eine andere treffen.
Durchschneidet s alle Gleichgewichtsflächen unter rechten Win-
keln, so stellt eine Tangente an jener Linie überall die Rich-
tung der Kraft, und [Formel 4] ihre Stärke dar.

Das Integral ∫ p cos θ . ds, durch ein beliebiges Stück der
Linie s ausgedehnt, wird offenbar = ε (V' — V0), wenn V0, V'
die Werthe des Potentials für den Anfangs- und Endpunkt
bedeuten. Ist also s eine geschlossene Linie, so wird jenes In-
tegral, durch die ganze Linie erstreckt, = o werden.

5.

Es ist von selbst klar, daſs das Potential in jedem Punkte

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[5/0010] der Richtung, welche die resultirende Kraft daselbst hat, so ist [FORMEL] Die auf die Richtung von ds projicirte Kraft wird folglich [FORMEL]. Legen wir durch alle Punkte, in welchen das Potential V einen constanten Werth hat, eine Fläche, so wird solche all- gemein zu reden die Theile des Raums wo V kleiner ist, von denen scheiden, wo V gröſser ist als jener Werth. Liegt die Linie s in dieser Fläche, oder tangirt sie wenigstens dieselbe mit dem Element ds, so ist [FORMEL]. Falls also nicht an die- sem Platze die Bestandtheile der ganzen Kraft einander destrui- ren, oder p = o wird, in welchem Falle von einer Richtung der Kraft nicht mehr die Rede sein kann, muſs nothwendig cos θ = o sein, woraus wir schlieſsen, daſs die Richtung der resul- tirenden Kraft in jedem Punkte einer solchen Fläche gegen diese selbst normal ist, und zwar nach derjenigen Seite des Raumes zu, wo die gröſsern Werthe von V angrenzen, wenn ε = + 1 ist; nach der entgegengesetzten, wenn ε = — 1 ist. Wir nennen eine solche Fläche eine Gleichgewichtsfläche. Da durch jeden Punkt eine solche Fläche gelegt werden kann, so wird die Linie s, falls sie nicht ganz in Einer Gleichge- wichtsfläche liegt, in jedem ihrer Punkte eine andere treffen. Durchschneidet s alle Gleichgewichtsflächen unter rechten Win- keln, so stellt eine Tangente an jener Linie überall die Rich- tung der Kraft, und [FORMEL] ihre Stärke dar. Das Integral ∫ p cos θ . ds, durch ein beliebiges Stück der Linie s ausgedehnt, wird offenbar = ε (V' — V0), wenn V0, V' die Werthe des Potentials für den Anfangs- und Endpunkt bedeuten. Ist also s eine geschlossene Linie, so wird jenes In- tegral, durch die ganze Linie erstreckt, = o werden. 5. Es ist von selbst klar, daſs das Potential in jedem Punkte

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 5. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/10>, abgerufen am 19.11.2024.