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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770.

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Zweyter Abschnitt
cc + dd und 2 aa bb mit 2 c d vergleichen. Um
dieses zu bewerckstelligen, so laßet uns setzen
c d = aa bb = ff gg hh k k und nehmen c = ff g g
und d = hh kk; aa = ff hh und bb = gg kk oder
a = f h und b = g k, woraus die erstere Gleichung
tt - a4 - b4 = cc + dd diese Form erhält tt - f4 h4
-- g4 k4 = f4 g4 + h4 k4 und also tt = f4 g4 + f4 h4
+ h4 k4 + g4 k4, das ist tt = (f4 + k4)(g4 + h4)
welches Product also ein Quadrat seyn muß, davon
aber die Auflösung schwer fallen dürfte.

Wir wollen dahero die Sache auf eine andere Art
angreiffen, und aus den drey erstern Gleichungen
x - y = pp; x - z = qq; y - z = rr die Buchstaben
y und z bestimmen, welche seyn werden y = x - pp und
z = x - qq, also daß qq = pp + rr. Nun werden die ersten
Formeln x + y = 2 x - pp, x + z = 2 x - qq; und
y + z = 2 x - pp - qq; vor diese letzte setze man 2 x - pp
-- qq = tt, also daß 2x = tt + pp + qq und nur noch
diese Formeln tt + qq und tt + pp übrig bleiben, wel-
che zu Quadraten gemacht werden müssen. Da nun
aber seyn muß qq = pp + rr, so setze man q = aa + bb,
und p = aa - bb, so wird r = 2 ab; woraus unsere For-
meln seyn werden:
I. tt + (aa + bb)2 = tt + a4 + b4 + 2 aabb = #

II.

Zweyter Abſchnitt
cc + dd und 2 aa bb mit 2 c d vergleichen. Um
dieſes zu bewerckſtelligen, ſo laßet uns ſetzen
c d = aa bb = ff gg hh k k und nehmen c = ff g g
und d = hh kk; aa = ff hh und bb = gg kk oder
a = f h und b = g k, woraus die erſtere Gleichung
tt - a4 - b4 = cc + dd dieſe Form erhaͤlt tt - f4 h4
— g4 k4 = f4 g4 + h4 k4 und alſo tt = f4 g4 + f4 h4
+ h4 k4 + g4 k4, das iſt tt = (f4 + k4)(g4 + h4)
welches Product alſo ein Quadrat ſeyn muß, davon
aber die Aufloͤſung ſchwer fallen duͤrfte.

Wir wollen dahero die Sache auf eine andere Art
angreiffen, und aus den drey erſtern Gleichungen
x - y = pp; x - z = qq; y - z = rr die Buchſtaben
y und z beſtimmen, welche ſeyn werden y = x - pp und
z = x - qq, alſo daß qq = pp + rr. Nun werden die erſten
Formeln x + y = 2 x - pp, x + z = 2 x - qq; und
y + z = 2 x - pp - qq; vor dieſe letzte ſetze man 2 x - pp
— qq = tt, alſo daß 2x = tt + pp + qq und nur noch
dieſe Formeln tt + qq und tt + pp uͤbrig bleiben, wel-
che zu Quadraten gemacht werden muͤſſen. Da nun
aber ſeyn muß qq = pp + rr, ſo ſetze man q = aa + bb,
und p = aa - bb, ſo wird r = 2 ab; woraus unſere For-
meln ſeyn werden:
I. tt + (aa + bb)2 = tt + a4 + b4 + 2 aabb = □

II.
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[484/0486] Zweyter Abſchnitt cc + dd und 2 aa bb mit 2 c d vergleichen. Um dieſes zu bewerckſtelligen, ſo laßet uns ſetzen c d = aa bb = ff gg hh k k und nehmen c = ff g g und d = hh kk; aa = ff hh und bb = gg kk oder a = f h und b = g k, woraus die erſtere Gleichung tt - a4 - b4 = cc + dd dieſe Form erhaͤlt tt - f4 h4 — g4 k4 = f4 g4 + h4 k4 und alſo tt = f4 g4 + f4 h4 + h4 k4 + g4 k4, das iſt tt = (f4 + k4)(g4 + h4) welches Product alſo ein Quadrat ſeyn muß, davon aber die Aufloͤſung ſchwer fallen duͤrfte. Wir wollen dahero die Sache auf eine andere Art angreiffen, und aus den drey erſtern Gleichungen x - y = pp; x - z = qq; y - z = rr die Buchſtaben y und z beſtimmen, welche ſeyn werden y = x - pp und z = x - qq, alſo daß qq = pp + rr. Nun werden die erſten Formeln x + y = 2 x - pp, x + z = 2 x - qq; und y + z = 2 x - pp - qq; vor dieſe letzte ſetze man 2 x - pp — qq = tt, alſo daß 2x = tt + pp + qq und nur noch dieſe Formeln tt + qq und tt + pp uͤbrig bleiben, wel- che zu Quadraten gemacht werden muͤſſen. Da nun aber ſeyn muß qq = pp + rr, ſo ſetze man q = aa + bb, und p = aa - bb, ſo wird r = 2 ab; woraus unſere For- meln ſeyn werden: I. tt + (aa + bb)2 = tt + a4 + b4 + 2 aabb = □ II.

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Zitationshilfe: Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 484. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/486>, abgerufen am 16.02.2025.