wann bb - 4ac ein Quadrat ist. Um dieses zu zei- gen so ist zu mercken, daß die Factoren immer von den Wurzeln einer Gleichung abhängen. Man setze also a + bx + cxx = 0, so wird cxx = - bx - a und xx = - - , woraus gefunden wird x = - +/- sqrt ( - ), oder x = - , +/- , woraus erhellet daß wann bb - 4ac ein Quadrat ist, diese Wur- zel rational angegeben werden können;
Es sey demnach bb - 4ac = dd, so sind die Wurzeln , oder es ist x = , also werden von der Formela + bx + cxx die Divisores seyn x + und x + , welche mit einander multi- plicirt dieselbe Formel nur durch c dividirt hervor- bringen, man findet nemlich xx + + - da nun dd = bb - 4ac so hat man xx + + -- + = xx + + , welche mit c multipli- cirt giebt cxx + bx + a. Man darf also nur den einen Factor mit c multipliciren, so wird unsere Formel die- sem Product gleich seyn: (cx + - ) ( x + + ) und man sieht, daß diese Auflösung immer statt findet, so oft bb + 4ac ein Quadrat ist.
51.
Zweyter Abſchnitt
wann bb - 4ac ein Quadrat iſt. Um dieſes zu zei- gen ſo iſt zu mercken, daß die Factoren immer von den Wurzeln einer Gleichung abhaͤngen. Man ſetze alſo a + bx + cxx = 0, ſo wird cxx = - bx - a und xx = - - , woraus gefunden wird x = - ± √ ( - ), oder x = - , ± , woraus erhellet daß wann bb - 4ac ein Quadrat iſt, dieſe Wur- zel rational angegeben werden koͤnnen;
Es ſey demnach bb - 4ac = dd, ſo ſind die Wurzeln , oder es iſt x = , alſo werden von der Formela + bx + cxx die Diviſores ſeyn x + und x + , welche mit einander multi- plicirt dieſelbe Formel nur durch c dividirt hervor- bringen, man findet nemlich xx + + - da nun dd = bb - 4ac ſo hat man xx + + — + = xx + + , welche mit c multipli- cirt giebt cxx + bx + a. Man darf alſo nur den einen Factor mit c multipliciren, ſo wird unſere Formel die- ſem Product gleich ſeyn: (cx + - ) ( x + + ) und man ſieht, daß dieſe Aufloͤſung immer ſtatt findet, ſo oft bb + 4ac ein Quadrat iſt.
51.
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Zweyter Abſchnitt
wann bb - 4ac ein Quadrat iſt. Um dieſes zu zei-
gen ſo iſt zu mercken, daß die Factoren immer von den
Wurzeln einer Gleichung abhaͤngen. Man ſetze alſo
a + bx + cxx = 0, ſo wird cxx = - bx - a und
xx = - [FORMEL] - [FORMEL], woraus gefunden wird x = - [FORMEL]
± √ ([FORMEL] - [FORMEL]), oder x = - [FORMEL], ± [FORMEL], woraus
erhellet daß wann bb - 4ac ein Quadrat iſt, dieſe Wur-
zel rational angegeben werden koͤnnen;
Es ſey demnach bb - 4ac = dd, ſo ſind die Wurzeln
[FORMEL], oder es iſt x = [FORMEL], alſo werden
von der Formel a + bx + cxx die Diviſores ſeyn
x + [FORMEL] und x + [FORMEL], welche mit einander multi-
plicirt dieſelbe Formel nur durch c dividirt hervor-
bringen, man findet nemlich xx + [FORMEL] + [FORMEL] - [FORMEL]
da nun dd = bb - 4ac ſo hat man xx + [FORMEL] + [FORMEL]
— [FORMEL] + [FORMEL] = xx + [FORMEL] + [FORMEL], welche mit c multipli-
cirt giebt cxx + bx + a. Man darf alſo nur den einen
Factor mit c multipliciren, ſo wird unſere Formel die-
ſem Product gleich ſeyn:
(cx + [FORMEL] - [FORMEL]) ( x + [FORMEL] + [FORMEL])
und man ſieht, daß dieſe Aufloͤſung immer ſtatt findet,
ſo oft bb + 4ac ein Quadrat iſt.
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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 266. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/268>, abgerufen am 16.02.2025.
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