Wann die Gleichung so beschaffen ist, daß die Zahlen in den Gliedern rückwärts eben so fortgehen als vorwärts, wie in dieser Gleichung geschiehet: x4 + mx3 + nxx + mx + 1 = 0, welche noch et- was allgemeiner also vorgestellt werden kann: x4 + max3 + naaxx + ma3x + a4 = 0 So kann eine solche Form allezeit als ein Product zweyer Factoren, welche Quadratische Formeln sind, angesehen werden und die sich leicht bestimmen laßen: dann man setze für diese Gleichung folgendes Product (xx + pax + aa) (xx + qax + aa) = 0, we p und q gesucht werden müssen, daß die obige Gleichung herauskomme. Es wird aber durch die würckliche Multiplication gefunden x4 + (p + q) a x3 + (pq + 2) aa xx + (p + q) a3 x + a4 = 0; damit also diese Gleichung mit der vor- gegebenen einerley sey, so werden folgende zwey Stücke erfordert I.) daß p + q = m, und II.) daß pq + 2 = n, folglich pq = n - 2.
Die erstere quadrirt giebt pp + 2 pq + qq = mm, davon die andere viermal genommen, nemlich 4 pq = 4 n - 8, subtrahirt bleibt über pp - 2 pq + qq = mm - 4 n + 8: davon die Quadrat-Wurzel ist: p - q = sqrt (mm - 4 n + 8). Da nun p + q = m
so
Erſter Abſchnitt
200.
Wann die Gleichung ſo beſchaffen iſt, daß die Zahlen in den Gliedern ruͤckwaͤrts eben ſo fortgehen als vorwaͤrts, wie in dieſer Gleichung geſchiehet: x4 + mx3 + nxx + mx + 1 = 0, welche noch et- was allgemeiner alſo vorgeſtellt werden kann: x4 + max3 + naaxx + ma3x + a4 = 0 So kann eine ſolche Form allezeit als ein Product zweyer Factoren, welche Quadratiſche Formeln ſind, angeſehen werden und die ſich leicht beſtimmen laßen: dann man ſetze fuͤr dieſe Gleichung folgendes Product (xx + pax + aa) (xx + qax + aa) = 0, we p und q geſucht werden muͤſſen, daß die obige Gleichung herauskomme. Es wird aber durch die wuͤrckliche Multiplication gefunden x4 + (p + q) a x3 + (pq + 2) aa xx + (p + q) a3 x + a4 = 0; damit alſo dieſe Gleichung mit der vor- gegebenen einerley ſey, ſo werden folgende zwey Stuͤcke erfordert I.) daß p + q = m, und II.) daß pq + 2 = n, folglich pq = n - 2.
Die erſtere quadrirt giebt pp + 2 pq + qq = mm, davon die andere viermal genommen, nemlich 4 pq = 4 n - 8, ſubtrahirt bleibt uͤber pp - 2 pq + qq = mm - 4 n + 8: davon die Quadrat-Wurzel iſt: p - q = √ (mm - 4 n + 8). Da nun p + q = m
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Erſter Abſchnitt
200.
Wann die Gleichung ſo beſchaffen iſt, daß die
Zahlen in den Gliedern ruͤckwaͤrts eben ſo fortgehen
als vorwaͤrts, wie in dieſer Gleichung geſchiehet:
x4 + mx3 + nxx + mx + 1 = 0, welche noch et-
was allgemeiner alſo vorgeſtellt werden kann:
x4 + max3 + naaxx + ma3x + a4 = 0 So kann eine
ſolche Form allezeit als ein Product zweyer Factoren,
welche Quadratiſche Formeln ſind, angeſehen werden
und die ſich leicht beſtimmen laßen: dann man ſetze fuͤr
dieſe Gleichung folgendes Product (xx + pax + aa)
(xx + qax + aa) = 0, we p und q geſucht werden muͤſſen,
daß die obige Gleichung herauskomme. Es wird
aber durch die wuͤrckliche Multiplication gefunden
x4 + (p + q) a x3 + (pq + 2) aa xx + (p + q) a3 x
+ a4 = 0; damit alſo dieſe Gleichung mit der vor-
gegebenen einerley ſey, ſo werden folgende zwey Stuͤcke
erfordert I.) daß p + q = m, und II.) daß pq + 2 = n,
folglich pq = n - 2.
Die erſtere quadrirt giebt pp + 2 pq + qq = mm,
davon die andere viermal genommen, nemlich
4 pq = 4 n - 8, ſubtrahirt bleibt uͤber pp - 2 pq + qq
= mm - 4 n + 8: davon die Quadrat-Wurzel iſt:
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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 170. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/172>, abgerufen am 22.12.2024.
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