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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770.

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Erster Abschnitt

Die größere Zahl sey x, die kleinere y, so müßen die-
se drey Formeln einander gleich seyn: I.) Summe x + y,
II.) Product xy, III.) Differenz der Quadraten xx - yy.
Vergleicht man die erste mit der zweyten, so hat man
x + y = xy und daraus suche man x. Man wird
allso haben y = xy - x oder y = x (y - 1) und
daraus wird x = ; dahero wird x + y =
und xy = und also ist die Summe dem Pro-
duct schon gleich. Diesem muß aber noch die Differenz
der Quadraten gleich seyn: es wird aber xx - yy
= - yy = welches dem obigen
Werth gleich seyn muß; dahero bekommt man
= ; durch yy dividirt wird = ;
ferner mit y - 1 multiplicirt wird 1 = noch-
mahls mit y - 1 multiplicirt giebt y - 1 = - yy + 2y: folglich
yy = y + 1. Hieraus findet man y = 1/2 +/- sqrt(1/4 + 1) = 1/2
+/- sqrt oder y = : und dahero erhalten wir
x = . Um hier die Irrationalität aus dem Nenner
wegzubringen, so multiplicirt man oben und unten mit
sqrt5 + 1, so bekommt man x = = .

Antwort: Also die größere der gesuchten Zahlen
x = , und die kleinere y = . Ihre

Sum-

Erſter Abſchnitt

Die groͤßere Zahl ſey x, die kleinere y, ſo muͤßen die-
ſe drey Formeln einander gleich ſeyn: I.) Summe x + y,
II.) Product xy, III.) Differenz der Quadraten xx - yy.
Vergleicht man die erſte mit der zweyten, ſo hat man
x + y = xy und daraus ſuche man x. Man wird
allſo haben y = xy - x oder y = x (y - 1) und
daraus wird x = ; dahero wird x + y =
und xy = und alſo iſt die Summe dem Pro-
duct ſchon gleich. Dieſem muß aber noch die Differenz
der Quadraten gleich ſeyn: es wird aber xx - yy
= - yy = welches dem obigen
Werth gleich ſeyn muß; dahero bekommt man
= ; durch yy dividirt wird = ;
ferner mit y - 1 multiplicirt wird 1 = noch-
mahls mit y - 1 multiplicirt giebt y - 1 = - yy + 2y: folglich
yy = y + 1. Hieraus findet man y = ½ ± √(¼ + 1) = ½
± √ oder y = : und dahero erhalten wir
x = . Um hier die Irrationalitaͤt aus dem Nenner
wegzubringen, ſo multiplicirt man oben und unten mit
√5 + 1, ſo bekommt man x = = .

Antwort: Alſo die groͤßere der geſuchten Zahlen
x = , und die kleinere y = . Ihre

Sum-

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[106/0108] Erſter Abſchnitt Die groͤßere Zahl ſey x, die kleinere y, ſo muͤßen die- ſe drey Formeln einander gleich ſeyn: I.) Summe x + y, II.) Product xy, III.) Differenz der Quadraten xx - yy. Vergleicht man die erſte mit der zweyten, ſo hat man x + y = xy und daraus ſuche man x. Man wird allſo haben y = xy - x oder y = x (y - 1) und daraus wird x = [FORMEL]; dahero wird x + y = [FORMEL] und xy = [FORMEL] und alſo iſt die Summe dem Pro- duct ſchon gleich. Dieſem muß aber noch die Differenz der Quadraten gleich ſeyn: es wird aber xx - yy = [FORMEL] - yy = [FORMEL] welches dem obigen Werth [FORMEL] gleich ſeyn muß; dahero bekommt man [FORMEL] = [FORMEL]; durch yy dividirt wird [FORMEL] = [FORMEL]; ferner mit y - 1 multiplicirt wird 1 = [FORMEL] noch- mahls mit y - 1 multiplicirt giebt y - 1 = - yy + 2y: folglich yy = y + 1. Hieraus findet man y = ½ ± √(¼ + 1) = ½ ± √[FORMEL] oder y = [FORMEL]: und dahero erhalten wir x = [FORMEL]. Um hier die Irrationalitaͤt aus dem Nenner wegzubringen, ſo multiplicirt man oben und unten mit √5 + 1, ſo bekommt man x = [FORMEL] = [FORMEL]. Antwort: Alſo die groͤßere der geſuchten Zahlen x = [FORMEL], und die kleinere y = [FORMEL]. Ihre Sum-

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Zitationshilfe:	Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 106. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/108>, abgerufen am 23.11.2024.

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