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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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III. Abschnitt. [Gleich. 53]
gebiet heisst nach allen n Dimensionen oder allseitig unend-
lich wenig ausgedehnt oder kürzer allseitig (n fach) unendlich
klein, wenn die Differenz [Formel 1] , ferner die Differenz [Formel 2]
für jeden Werth von x1, die Differenz [Formel 3] für jedes Werthe-
paar von x1 und x2 u. s. w. unendlich klein ist. Wenn n = 2 ist,
können x1 und x2 als die Coordinaten eines Punktes in der Ebene
aufgefasst werden; jedem Werthegebiete entspricht dann ein be-
grenztes Flächenstück in der Ebene; für n = 3 kann jedes Werthe-
gebiet durch ein begrenztes Volumen im Raume dargestellt werden.

Jedem Werthesysteme der x, welches im Gebiete G liegt,
entspricht nun ein Werthesystem der x. Unter dem Gebiete g
der x, welches dem Gebiete G der x entspricht, verstehen wir
den Inbegriff aller Werthesysteme der x, welche allen im Ge-
biete G liegenden Werthesystemen der x entsprechen.

Nach Aufstellung dieser Definitionen lässt sich der
Jacobi'sche Functionaldeterminantensatz in folgender, voll-
kommen unzweideutiger Weise aussprechen.

Es sei eine beliebige eindeutige, continuirliche Function
der independenten Variabeln x1, x2 ... xn gegeben. Wir be-
zeichnen sie mit f (x1, x2 ... xn). Drücken wir darin x1, x2 ... xn
durch x1, x2 ... xn aus, so soll die Function f (x1, x2 ... xn) über-
gehen in F (x1, x2 ... xn), so dass also identisch
f (x1, x2 ... xn) = F(x1, x2 ... xn)
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wenn das erstere Integrale über ein beliebiges Gebiet G der x,
das letztere über das entsprechende Gebiet g der x erstreckt wird.
Bezeichnen wir vielmehr wieder die Functionaldeterminante
[Formel 4] mit D, so ist das über das Gebiet G erstreckte nfache be-
stimmte Integrale

III. Abschnitt. [Gleich. 53]
gebiet heisst nach allen n Dimensionen oder allseitig unend-
lich wenig ausgedehnt oder kürzer allseitig (n fach) unendlich
klein, wenn die Differenz [Formel 1] , ferner die Differenz [Formel 2]
für jeden Werth von x1, die Differenz [Formel 3] für jedes Werthe-
paar von x1 und x2 u. s. w. unendlich klein ist. Wenn n = 2 ist,
können x1 und x2 als die Coordinaten eines Punktes in der Ebene
aufgefasst werden; jedem Werthegebiete entspricht dann ein be-
grenztes Flächenstück in der Ebene; für n = 3 kann jedes Werthe-
gebiet durch ein begrenztes Volumen im Raume dargestellt werden.

Jedem Werthesysteme der x, welches im Gebiete G liegt,
entspricht nun ein Werthesystem der ξ. Unter dem Gebiete g
der ξ, welches dem Gebiete G der x entspricht, verstehen wir
den Inbegriff aller Werthesysteme der ξ, welche allen im Ge-
biete G liegenden Werthesystemen der x entsprechen.

Nach Aufstellung dieser Definitionen lässt sich der
Jacobi’sche Functionaldeterminantensatz in folgender, voll-
kommen unzweideutiger Weise aussprechen.

Es sei eine beliebige eindeutige, continuirliche Function
der independenten Variabeln x1, x2 … xn gegeben. Wir be-
zeichnen sie mit f (x1, x2 … xn). Drücken wir darin x1, x2 … xn
durch ξ1, ξ2 … ξn aus, so soll die Function f (x1, x2 … xn) über-
gehen in F (ξ1, ξ2 … ξn), so dass also identisch
f (x1, x2 … xn) = F(ξ1, ξ2 … ξn)
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wenn das erstere Integrale über ein beliebiges Gebiet G der x,
das letztere über das entsprechende Gebiet g der ξ erstreckt wird.
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[72/0090] III. Abschnitt. [Gleich. 53] gebiet heisst nach allen n Dimensionen oder allseitig unend- lich wenig ausgedehnt oder kürzer allseitig (n fach) unendlich klein, wenn die Differenz [FORMEL], ferner die Differenz [FORMEL] für jeden Werth von x1, die Differenz [FORMEL] für jedes Werthe- paar von x1 und x2 u. s. w. unendlich klein ist. Wenn n = 2 ist, können x1 und x2 als die Coordinaten eines Punktes in der Ebene aufgefasst werden; jedem Werthegebiete entspricht dann ein be- grenztes Flächenstück in der Ebene; für n = 3 kann jedes Werthe- gebiet durch ein begrenztes Volumen im Raume dargestellt werden. Jedem Werthesysteme der x, welches im Gebiete G liegt, entspricht nun ein Werthesystem der ξ. Unter dem Gebiete g der ξ, welches dem Gebiete G der x entspricht, verstehen wir den Inbegriff aller Werthesysteme der ξ, welche allen im Ge- biete G liegenden Werthesystemen der x entsprechen. Nach Aufstellung dieser Definitionen lässt sich der Jacobi’sche Functionaldeterminantensatz in folgender, voll- kommen unzweideutiger Weise aussprechen. Es sei eine beliebige eindeutige, continuirliche Function der independenten Variabeln x1, x2 … xn gegeben. Wir be- zeichnen sie mit f (x1, x2 … xn). Drücken wir darin x1, x2 … xn durch ξ1, ξ2 … ξn aus, so soll die Function f (x1, x2 … xn) über- gehen in F (ξ1, ξ2 … ξn), so dass also identisch f (x1, x2 … xn) = F(ξ1, ξ2 … ξn) ist. Es ist aber deswegen keineswegs ∫ ∫ … f (x1, x2 … xn) d x1 d x2 … d xn = = ∫ ∫ … F (ξ1, ξ2 … ξn) d ξ1 d ξ2 … d ξn, wenn das erstere Integrale über ein beliebiges Gebiet G der x, das letztere über das entsprechende Gebiet g der ξ erstreckt wird. Bezeichnen wir vielmehr wieder die Functionaldeterminante [FORMEL] mit D, so ist das über das Gebiet G erstreckte nfache be- stimmte Integrale

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 72. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/90>, abgerufen am 27.11.2024.