Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.III. Abschnitt. [Gleich. 53] gebiet heisst nach allen n Dimensionen oder allseitig unend-lich wenig ausgedehnt oder kürzer allseitig (n fach) unendlich klein, wenn die Differenz [Formel 1] , ferner die Differenz [Formel 2] für jeden Werth von x1, die Differenz [Formel 3] für jedes Werthe- paar von x1 und x2 u. s. w. unendlich klein ist. Wenn n = 2 ist, können x1 und x2 als die Coordinaten eines Punktes in der Ebene aufgefasst werden; jedem Werthegebiete entspricht dann ein be- grenztes Flächenstück in der Ebene; für n = 3 kann jedes Werthe- gebiet durch ein begrenztes Volumen im Raume dargestellt werden. Jedem Werthesysteme der x, welches im Gebiete G liegt, Nach Aufstellung dieser Definitionen lässt sich der Es sei eine beliebige eindeutige, continuirliche Function III. Abschnitt. [Gleich. 53] gebiet heisst nach allen n Dimensionen oder allseitig unend-lich wenig ausgedehnt oder kürzer allseitig (n fach) unendlich klein, wenn die Differenz [Formel 1] , ferner die Differenz [Formel 2] für jeden Werth von x1, die Differenz [Formel 3] für jedes Werthe- paar von x1 und x2 u. s. w. unendlich klein ist. Wenn n = 2 ist, können x1 und x2 als die Coordinaten eines Punktes in der Ebene aufgefasst werden; jedem Werthegebiete entspricht dann ein be- grenztes Flächenstück in der Ebene; für n = 3 kann jedes Werthe- gebiet durch ein begrenztes Volumen im Raume dargestellt werden. Jedem Werthesysteme der x, welches im Gebiete G liegt, Nach Aufstellung dieser Definitionen lässt sich der Es sei eine beliebige eindeutige, continuirliche Function <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0090" n="72"/><fw place="top" type="header">III. Abschnitt. [Gleich. 53]</fw><lb/> gebiet heisst nach allen <hi rendition="#i">n</hi> Dimensionen oder allseitig unend-<lb/> lich wenig ausgedehnt oder kürzer allseitig (<hi rendition="#i">n</hi> fach) unendlich<lb/> klein, wenn die Differenz <formula/>, ferner die Differenz <formula/><lb/> für jeden Werth von <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, die Differenz <formula/> für jedes Werthe-<lb/> paar von <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> u. s. w. unendlich klein ist. Wenn <hi rendition="#i">n</hi> = 2 ist,<lb/> können <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> als die Coordinaten eines Punktes in der Ebene<lb/> aufgefasst werden; jedem Werthegebiete entspricht dann ein be-<lb/> grenztes Flächenstück in der Ebene; für <hi rendition="#i">n</hi> = 3 kann jedes Werthe-<lb/> gebiet durch ein begrenztes Volumen im Raume dargestellt werden.</p><lb/> <p>Jedem Werthesysteme der <hi rendition="#i">x</hi>, welches im Gebiete <hi rendition="#i">G</hi> liegt,<lb/> entspricht nun ein Werthesystem der <hi rendition="#i">ξ</hi>. Unter dem Gebiete <hi rendition="#i">g</hi><lb/> der <hi rendition="#i">ξ</hi>, welches dem Gebiete <hi rendition="#i">G</hi> der <hi rendition="#i">x</hi> entspricht, verstehen wir<lb/> den Inbegriff aller Werthesysteme der <hi rendition="#i">ξ</hi>, welche allen im Ge-<lb/> biete <hi rendition="#i">G</hi> liegenden Werthesystemen der <hi rendition="#i">x</hi> entsprechen.</p><lb/> <p>Nach Aufstellung dieser Definitionen lässt sich der<lb/><hi rendition="#g">Jacobi’s</hi>che Functionaldeterminantensatz in folgender, voll-<lb/> kommen unzweideutiger Weise aussprechen.</p><lb/> <p>Es sei eine beliebige eindeutige, continuirliche Function<lb/> der independenten Variabeln <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">n</hi></hi> gegeben. Wir be-<lb/> zeichnen sie mit <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">n</hi></hi>). Drücken wir darin <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">n</hi></hi><lb/> durch <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">ξ<hi rendition="#sub">n</hi></hi> aus, so soll die Function <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">n</hi></hi>) über-<lb/> gehen in <hi rendition="#i">F</hi> (<hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">ξ<hi rendition="#sub">n</hi></hi>), so dass also identisch<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">n</hi></hi>) = <hi rendition="#i">F</hi>(<hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">ξ<hi rendition="#sub">n</hi></hi>)</hi><lb/> ist. Es ist aber deswegen keineswegs<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">∫ ∫ … f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">n</hi></hi>) <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">d x<hi rendition="#sub">n</hi></hi> =<lb/> = <hi rendition="#i">∫ ∫ … F</hi> (<hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">ξ<hi rendition="#sub">n</hi></hi>) <hi rendition="#i">d ξ</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d ξ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">d ξ<hi rendition="#sub">n</hi></hi>,</hi><lb/> wenn das erstere Integrale über ein beliebiges Gebiet <hi rendition="#i">G</hi> der <hi rendition="#i">x</hi>,<lb/> das letztere über das entsprechende Gebiet <hi rendition="#i">g</hi> der <hi rendition="#i">ξ</hi> erstreckt wird.<lb/> Bezeichnen wir vielmehr wieder die Functionaldeterminante<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> mit <hi rendition="#i">D</hi>, so ist das über das Gebiet <hi rendition="#i">G</hi> erstreckte <hi rendition="#i">n</hi>fache be-<lb/> stimmte Integrale<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [72/0090]
III. Abschnitt. [Gleich. 53]
gebiet heisst nach allen n Dimensionen oder allseitig unend-
lich wenig ausgedehnt oder kürzer allseitig (n fach) unendlich
klein, wenn die Differenz [FORMEL], ferner die Differenz [FORMEL]
für jeden Werth von x1, die Differenz [FORMEL] für jedes Werthe-
paar von x1 und x2 u. s. w. unendlich klein ist. Wenn n = 2 ist,
können x1 und x2 als die Coordinaten eines Punktes in der Ebene
aufgefasst werden; jedem Werthegebiete entspricht dann ein be-
grenztes Flächenstück in der Ebene; für n = 3 kann jedes Werthe-
gebiet durch ein begrenztes Volumen im Raume dargestellt werden.
Jedem Werthesysteme der x, welches im Gebiete G liegt,
entspricht nun ein Werthesystem der ξ. Unter dem Gebiete g
der ξ, welches dem Gebiete G der x entspricht, verstehen wir
den Inbegriff aller Werthesysteme der ξ, welche allen im Ge-
biete G liegenden Werthesystemen der x entsprechen.
Nach Aufstellung dieser Definitionen lässt sich der
Jacobi’sche Functionaldeterminantensatz in folgender, voll-
kommen unzweideutiger Weise aussprechen.
Es sei eine beliebige eindeutige, continuirliche Function
der independenten Variabeln x1, x2 … xn gegeben. Wir be-
zeichnen sie mit f (x1, x2 … xn). Drücken wir darin x1, x2 … xn
durch ξ1, ξ2 … ξn aus, so soll die Function f (x1, x2 … xn) über-
gehen in F (ξ1, ξ2 … ξn), so dass also identisch
f (x1, x2 … xn) = F(ξ1, ξ2 … ξn)
ist. Es ist aber deswegen keineswegs
∫ ∫ … f (x1, x2 … xn) d x1 d x2 … d xn =
= ∫ ∫ … F (ξ1, ξ2 … ξn) d ξ1 d ξ2 … d ξn,
wenn das erstere Integrale über ein beliebiges Gebiet G der x,
das letztere über das entsprechende Gebiet g der ξ erstreckt wird.
Bezeichnen wir vielmehr wieder die Functionaldeterminante
[FORMEL] mit D, so ist das über das Gebiet G erstreckte nfache be-
stimmte Integrale
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898 |
URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/90 |
Zitationshilfe: | Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 72. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/90>, abgerufen am 16.07.2024. |