Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

III. Abschnitt. [Gleich. 53]

Theorie der bestimmten Integrale gehört, dort aber nicht immer
völlig klargestellt wird.

Ich betrachte da den allgemeinsten Fall. Es seien n be-
liebige, in einem bestimmten Bereiche eindeutige und continuir-
liche Functionen ξ₁, ξ₂ … ξ_n von n independenten Variabeln
x₁, x₂ … x_n gegeben. Umgekehrt seien auch die x eindeutige
continuirliche Functionen der ξ. Setzen wir dann
[Formel 1] ,
so gilt zwischen den Differentialen die Gleichung:
53) [Formel 2] .
Die Bedeutung dieser Gleichung lässt an Klarheit nichts zu
wünschen übrig, wenn ξ₁ bloss Function von x₁, ξ₂ bloss
Function von x₂ u. s. w. ist. Wenn dann von allen x bloss x₁
sich ändert, etwa um d x₁ wächst, so ändert sich von allen ξ
auch bloss ξ₁; sein Zuwachs heisse d ξ₁. Ebenso gehört zu
einem Zuwachse d x₂ von x₂ ein bestimmter Zuwachs d ξ₂ von
ξ₂ u. s. w. Zwischen den so bestimmten Zuwächsen der x und ξ
besteht nun die Gleichung 53). Weit complicirter wird aber
die Sache, wenn, wie es im Allgemeinen angenommen werden
muss, jedes der ξ eine Function aller x ist.

Wenn dann x₁ alle möglichen Werthe durchläuft, welche
zwischen x₁ und x₁ + d x₁ liegen, während x₂ einen constanten
Werth, der zwischen x₂ und x₂ + d x₂ liegt, ebenso x₃ einen
constanten zwischen x₃ und x₃ + d x₃ liegenden Werth hat und
in gleicher Weise alle folgenden x constante Werthe haben, so
wird im Allgemeinen keineswegs bloss ξ₁ sich ändern, sondern
es werden vielmehr alle ξ gleichzeitig sich ändern. Ebenso
werden sich im Allgemeinen alle ξ ändern, wenn bei Constant-
haltung aller übrigen x nur x₂ alle Werthe von x₂ bis x₂ + d x₂
durchläuft und zwar wird jedes ξ im zweiten Falle einen ganz
anderen Zuwachs erfahren, als im ersten. Wir haben also