Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

I. Abschnitt. [Gleich. 35]
35) [Formel 1] ,
Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des
Verschwindens von d2 p / d v2 für den kritischen Zustand zu
erwarten war) auch d2 p / d o2 = 0, dagegen d3 p / d o3 negativ.
Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre
Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi-
nate p nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem o ab. Die-
selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für o = 1,87;
sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit
liegenden Abscissen o ihre concave, für die übrigen Abscissen
ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt
die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar.

Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme,
welche zur reducirten Temperatur t = 37.2--11 = 1,06787 gehört,
wo sie beide unmittelbar bei o = 4/3 liegen1) und rücken für
kleinere t immer weiter aus einander. Für grössere t fallen
die Isothermen ohne Inflexionspunkt unter fortdauernder Ab-
nahme von d p / d o gegen die positive Abscissenaxe ab.

3. Es sei 0 < t < 1, d. h. die Temperatur liege unter der
kritischen. Dann ist, wie man aus Gleichung 33) sieht, für
o = 1 die Grösse d p / d o positiv, während sie für grosse
Werthe des o und solche, die nahe an 1/3 liegen, negativ ist.
Es muss also d p / d o sowohl für einen Werth des o, der
grösser als 1 ist, als auch für einen, der zwischen 1 und 1/3
liegt, verschwinden. Für keinen dieser Werthe kann auch noch
d2 p / d o2 verschwinden, denn aus Gleichung 35) folgt, dass
d p / d o und d2 p / d o2 nur für o = 1 gleichzeitig verschwinden
können. Dies folgt übrigens auch aus dem Umstande, dass
dann die Gleichung 30), die sich nur in der Wahl der Maass-
einheiten von unseren jetzigen unterscheidet, für v drei gleiche
Wurzeln haben müsste, was, wie wir sahen, nur für den

1) d2 p / d o2 verschwindet nämlich für t = (3 o -- 1)3 / 8 o4. Der Aus-
druck rechts ist für sehr grosse Werthe von o, sowie für solche, die
wenig grösser als 1/3 sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen
diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 37.2--11 für
o = 4/3. Für t > 37.2--11 kann daher d2 p / d o2 nicht verschwinden.

I. Abschnitt. [Gleich. 35]
35) [Formel 1] ,
Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des
Verschwindens von d2 p / d v2 für den kritischen Zustand zu
erwarten war) auch d2 π / d ω2 = 0, dagegen d3 π / d ω3 negativ.
Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre
Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi-
nate π nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem ω ab. Die-
selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für ω = 1,87;
sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit
liegenden Abscissen ω ihre concave, für die übrigen Abscissen
ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt
die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar.

Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme,
welche zur reducirten Temperatur τ = 37.2—11 = 1,06787 gehört,
wo sie beide unmittelbar bei ω = 4/3 liegen1) und rücken für
kleinere τ immer weiter aus einander. Für grössere τ fallen
die Isothermen ohne Inflexionspunkt unter fortdauernder Ab-
nahme von d π / d ω gegen die positive Abscissenaxe ab.

3. Es sei 0 < τ < 1, d. h. die Temperatur liege unter der
kritischen. Dann ist, wie man aus Gleichung 33) sieht, für
ω = 1 die Grösse d π / d ω positiv, während sie für grosse
Werthe des ω und solche, die nahe an ⅓ liegen, negativ ist.
Es muss also d π / d ω sowohl für einen Werth des ω, der
grösser als 1 ist, als auch für einen, der zwischen 1 und ⅓
liegt, verschwinden. Für keinen dieser Werthe kann auch noch
d2 π / d ω2 verschwinden, denn aus Gleichung 35) folgt, dass
d π / d ω und d2 π / d ω2 nur für ω = 1 gleichzeitig verschwinden
können. Dies folgt übrigens auch aus dem Umstande, dass
dann die Gleichung 30), die sich nur in der Wahl der Maass-
einheiten von unseren jetzigen unterscheidet, für v drei gleiche
Wurzeln haben müsste, was, wie wir sahen, nur für den

1) d2 π / d ω2 verschwindet nämlich für τ = (3 ω — 1)3 / 8 ω4. Der Aus-
druck rechts ist für sehr grosse Werthe von ω, sowie für solche, die
wenig grösser als ⅓ sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen
diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 37.2—11 für
ω = 4/3. Für τ > 37.2—11 kann daher d2 π / d ω2 nicht verschwinden.
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0048" n="30"/><fw place="top" type="header">I. Abschnitt. [Gleich. 35]</fw><lb/>
35) <hi rendition="#et"><formula/>,</hi><lb/>
Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des<lb/>
Verschwindens von <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">p / d v</hi><hi rendition="#sup">2</hi> für den kritischen Zustand zu<lb/>
erwarten war) auch <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">&#x03C0; / d &#x03C9;</hi><hi rendition="#sup">2</hi> = 0, dagegen <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">3</hi> <hi rendition="#i">&#x03C0; / d &#x03C9;</hi><hi rendition="#sup">3</hi> negativ.<lb/>
Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre<lb/>
Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi-<lb/>
nate <hi rendition="#i">&#x03C0;</hi> nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> ab. Die-<lb/>
selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> = 1,87;<lb/>
sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit<lb/>
liegenden Abscissen <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> ihre concave, für die übrigen Abscissen<lb/>
ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt<lb/>
die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar.</p><lb/>
          <p>Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme,<lb/>
welche zur reducirten Temperatur <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi> = 3<hi rendition="#sup">7</hi>.2<hi rendition="#sup">&#x2014;11</hi> = 1,06787 gehört,<lb/>
wo sie beide unmittelbar bei <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> = 4/3 liegen<note place="foot" n="1)"><hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi><hi rendition="#i">&#x03C0; / d &#x03C9;</hi><hi rendition="#sup">2</hi> verschwindet nämlich für <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi> = (3 <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> &#x2014; 1)<hi rendition="#sup">3</hi> / 8 <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi><hi rendition="#sup">4</hi>. Der Aus-<lb/>
druck rechts ist für sehr grosse Werthe von <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>, sowie für solche, die<lb/>
wenig grösser als &#x2153; sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen<lb/>
diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 3<hi rendition="#sup">7</hi>.2<hi rendition="#sup">&#x2014;11</hi> für<lb/><hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> = 4/3. Für <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi> &gt; 3<hi rendition="#sup">7</hi>.2<hi rendition="#sup">&#x2014;11</hi> kann daher <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">&#x03C0; / d &#x03C9;</hi><hi rendition="#sup">2</hi> nicht verschwinden.</note> und rücken für<lb/>
kleinere <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi> immer weiter aus einander. Für grössere <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi> fallen<lb/>
die Isothermen ohne Inflexionspunkt unter fortdauernder Ab-<lb/>
nahme von <hi rendition="#i">d &#x03C0; / d &#x03C9;</hi> gegen die positive Abscissenaxe ab.</p><lb/>
          <p>3. Es sei 0 &lt; <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi> &lt; 1, d. h. die Temperatur liege unter der<lb/>
kritischen. Dann ist, wie man aus Gleichung 33) sieht, für<lb/><hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> = 1 die Grösse <hi rendition="#i">d &#x03C0; / d &#x03C9;</hi> positiv, während sie für grosse<lb/>
Werthe des <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> und solche, die nahe an &#x2153; liegen, negativ ist.<lb/>
Es muss also <hi rendition="#i">d &#x03C0; / d &#x03C9;</hi> sowohl für einen Werth des <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>, der<lb/>
grösser als 1 ist, als auch für einen, der zwischen 1 und &#x2153;<lb/>
liegt, verschwinden. Für keinen dieser Werthe kann auch noch<lb/><hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">&#x03C0; / d &#x03C9;</hi><hi rendition="#sup">2</hi> verschwinden, denn aus Gleichung 35) folgt, dass<lb/><hi rendition="#i">d &#x03C0; / d &#x03C9;</hi> und <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">&#x03C0; / d &#x03C9;</hi><hi rendition="#sup">2</hi> nur für <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> = 1 gleichzeitig verschwinden<lb/>
können. Dies folgt übrigens auch aus dem Umstande, dass<lb/>
dann die Gleichung 30), die sich nur in der Wahl der Maass-<lb/>
einheiten von unseren jetzigen unterscheidet, für <hi rendition="#i">v</hi> drei gleiche<lb/>
Wurzeln haben müsste, was, wie wir sahen, nur für den<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[30/0048] I. Abschnitt. [Gleich. 35] 35) [FORMEL], Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des Verschwindens von d2 p / d v2 für den kritischen Zustand zu erwarten war) auch d2 π / d ω2 = 0, dagegen d3 π / d ω3 negativ. Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi- nate π nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem ω ab. Die- selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für ω = 1,87; sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit liegenden Abscissen ω ihre concave, für die übrigen Abscissen ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar. Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme, welche zur reducirten Temperatur τ = 37.2—11 = 1,06787 gehört, wo sie beide unmittelbar bei ω = 4/3 liegen 1) und rücken für kleinere τ immer weiter aus einander. Für grössere τ fallen die Isothermen ohne Inflexionspunkt unter fortdauernder Ab- nahme von d π / d ω gegen die positive Abscissenaxe ab. 3. Es sei 0 < τ < 1, d. h. die Temperatur liege unter der kritischen. Dann ist, wie man aus Gleichung 33) sieht, für ω = 1 die Grösse d π / d ω positiv, während sie für grosse Werthe des ω und solche, die nahe an ⅓ liegen, negativ ist. Es muss also d π / d ω sowohl für einen Werth des ω, der grösser als 1 ist, als auch für einen, der zwischen 1 und ⅓ liegt, verschwinden. Für keinen dieser Werthe kann auch noch d2 π / d ω2 verschwinden, denn aus Gleichung 35) folgt, dass d π / d ω und d2 π / d ω2 nur für ω = 1 gleichzeitig verschwinden können. Dies folgt übrigens auch aus dem Umstande, dass dann die Gleichung 30), die sich nur in der Wahl der Maass- einheiten von unseren jetzigen unterscheidet, für v drei gleiche Wurzeln haben müsste, was, wie wir sahen, nur für den 1) d2 π / d ω2 verschwindet nämlich für τ = (3 ω — 1)3 / 8 ω4. Der Aus- druck rechts ist für sehr grosse Werthe von ω, sowie für solche, die wenig grösser als ⅓ sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 37.2—11 für ω = 4/3. Für τ > 37.2—11 kann daher d2 π / d ω2 nicht verschwinden.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/48
Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 30. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/48>, abgerufen am 24.11.2024.