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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

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[Gleich. 35] § 6. Math. Bedeutung der Grösse H.
andere Permutation möglich. Viel wahrscheinlicher schon wäre
der Fall, dass die Hälfte der Moleküle eine bestimmte, be-
stimmt gerichtete, die andere Hälfte eine andere, wieder für
alle gleiche und gleichgerichtete Geschwindigkeit hätten. Dann
wäre die Hälfte der Geschwindigkeitspunkte in einer, die andere
Hälfte in einer zweiten Zelle; es wäre also:
[Formel 1] u. s. w.

Da nun die Anzahl der Moleküle eine überaus grosse ist,
so sind n1 o, n2 o u. s. w. ebenfalls als sehr grosse Zahlen zu
betrachten.

Wir wollen die Annäherungsformel:
[Formel 2] benützen, wobei e die Basis der natürlichen Logarithmen und
p eine beliebige grosse Zahl ist.1)

Bezeichnen wir daher wieder mit l den natürlichen Loga-
rithmus, so folgt:
l [(n1 o)!] = (n1 o + 1/2) l n1 + n1 o (l o -- 1) + 1/2 (l o + l 2 p).

Vernachlässigt man hier 1/2 gegen die sehr grosse Zahl n1 o
und bildet den analogen Ausdruck für (n2 o)!, (n3 o)! u. s. f.,
so ergibt sich:
l Z = -- o (n1 l n1 + n2 l n2 ...) + C,
wobei
[Formel 3] für alle Geschwindigkeitsvertheilungen denselben Werth hat,
also als Constante zu betrachten ist. Denn wir fragen ja bloss
nach der relativen Wahrscheinlichkeit der Eintheilung der ver-
schiedenen Geschwindigkeitspunkte unserer Moleküle in unsere
Zellen o, wobei selbstverständlich die Zelleneintheilung, daher
auch die Grösse einer Zelle o, die Anzahl der Zellen z und
die Gesammtzahl n der Moleküle und deren gesammte leben-
dige Kraft als unveränderlich gegeben betrachtet werden
müssen. Die wahrscheinlichste Eintheilung der Geschwindig-

1) Siehe Schlömilch, Comp. der höh. Analysis. Bd. 1. S. 437.
3. Aufl.

[Gleich. 35] § 6. Math. Bedeutung der Grösse H.
andere Permutation möglich. Viel wahrscheinlicher schon wäre
der Fall, dass die Hälfte der Moleküle eine bestimmte, be-
stimmt gerichtete, die andere Hälfte eine andere, wieder für
alle gleiche und gleichgerichtete Geschwindigkeit hätten. Dann
wäre die Hälfte der Geschwindigkeitspunkte in einer, die andere
Hälfte in einer zweiten Zelle; es wäre also:
[Formel 1] u. s. w.

Da nun die Anzahl der Moleküle eine überaus grosse ist,
so sind n1 ω, n2 ω u. s. w. ebenfalls als sehr grosse Zahlen zu
betrachten.

Wir wollen die Annäherungsformel:
[Formel 2] benützen, wobei e die Basis der natürlichen Logarithmen und
p eine beliebige grosse Zahl ist.1)

Bezeichnen wir daher wieder mit l den natürlichen Loga-
rithmus, so folgt:
l [(n1 ω)!] = (n1 ω + ½) l n1 + n1 ω (l ω — 1) + ½ (l ω + l 2 π).

Vernachlässigt man hier ½ gegen die sehr grosse Zahl n1 ω
und bildet den analogen Ausdruck für (n2 ω)!, (n3 ω)! u. s. f.,
so ergibt sich:
l Z = — ω (n1 l n1 + n2 l n2 …) + C,
wobei
[Formel 3] für alle Geschwindigkeitsvertheilungen denselben Werth hat,
also als Constante zu betrachten ist. Denn wir fragen ja bloss
nach der relativen Wahrscheinlichkeit der Eintheilung der ver-
schiedenen Geschwindigkeitspunkte unserer Moleküle in unsere
Zellen ω, wobei selbstverständlich die Zelleneintheilung, daher
auch die Grösse einer Zelle ω, die Anzahl der Zellen ζ und
die Gesammtzahl n der Moleküle und deren gesammte leben-
dige Kraft als unveränderlich gegeben betrachtet werden
müssen. Die wahrscheinlichste Eintheilung der Geschwindig-

1) Siehe Schlömilch, Comp. der höh. Analysis. Bd. 1. S. 437.
3. Aufl.
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[41/0055] [Gleich. 35] § 6. Math. Bedeutung der Grösse H. andere Permutation möglich. Viel wahrscheinlicher schon wäre der Fall, dass die Hälfte der Moleküle eine bestimmte, be- stimmt gerichtete, die andere Hälfte eine andere, wieder für alle gleiche und gleichgerichtete Geschwindigkeit hätten. Dann wäre die Hälfte der Geschwindigkeitspunkte in einer, die andere Hälfte in einer zweiten Zelle; es wäre also: [FORMEL] u. s. w. Da nun die Anzahl der Moleküle eine überaus grosse ist, so sind n1 ω, n2 ω u. s. w. ebenfalls als sehr grosse Zahlen zu betrachten. Wir wollen die Annäherungsformel: [FORMEL] benützen, wobei e die Basis der natürlichen Logarithmen und p eine beliebige grosse Zahl ist. 1) Bezeichnen wir daher wieder mit l den natürlichen Loga- rithmus, so folgt: l [(n1 ω)!] = (n1 ω + ½) l n1 + n1 ω (l ω — 1) + ½ (l ω + l 2 π). Vernachlässigt man hier ½ gegen die sehr grosse Zahl n1 ω und bildet den analogen Ausdruck für (n2 ω)!, (n3 ω)! u. s. f., so ergibt sich: l Z = — ω (n1 l n1 + n2 l n2 …) + C, wobei [FORMEL] für alle Geschwindigkeitsvertheilungen denselben Werth hat, also als Constante zu betrachten ist. Denn wir fragen ja bloss nach der relativen Wahrscheinlichkeit der Eintheilung der ver- schiedenen Geschwindigkeitspunkte unserer Moleküle in unsere Zellen ω, wobei selbstverständlich die Zelleneintheilung, daher auch die Grösse einer Zelle ω, die Anzahl der Zellen ζ und die Gesammtzahl n der Moleküle und deren gesammte leben- dige Kraft als unveränderlich gegeben betrachtet werden müssen. Die wahrscheinlichste Eintheilung der Geschwindig- 1) Siehe Schlömilch, Comp. der höh. Analysis. Bd. 1. S. 437. 3. Aufl.

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 41. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/55>, abgerufen am 16.02.2025.