Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.[Gleich. 249] § 24. Verallgemeinerte Entropie. Wir wollen nun den Ausdruck H bloss für die in einem Substituiren wir nun für f und l f obige Werthe, so er- Da wir die Glieder von noch höherer Grössenordnung ver- Von derselben Grössenordnung sind freilich die nächsten [Gleich. 249] § 24. Verallgemeinerte Entropie. Wir wollen nun den Ausdruck H bloss für die in einem Substituiren wir nun für f und l f obige Werthe, so er- Da wir die Glieder von noch höherer Grössenordnung ver- Von derselben Grössenordnung sind freilich die nächsten <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0205" n="191"/> <fw place="top" type="header">[Gleich. 249] § 24. Verallgemeinerte Entropie.</fw><lb/> <p>Wir wollen nun den Ausdruck <hi rendition="#i">H</hi> bloss für die in einem<lb/> Volumenelemente <hi rendition="#i">d o</hi> enthaltene Gasmasse bilden. Den so<lb/> gefundenen Werth multipliciren wir mit — <hi rendition="#i">R M</hi> und dividiren<lb/> durch <hi rendition="#i">d o</hi>. Die so gebildete Grösse sei<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">J</hi> = — <hi rendition="#i">R M ∫ f<hi rendition="#sup">l f d ω</hi></hi>.</hi><lb/><hi rendition="#i">J d o</hi> ist dann die Entropie der in <hi rendition="#i">d o</hi> enthaltenen Gasmasse.</p><lb/> <p>Substituiren wir nun für <hi rendition="#i">f</hi> und <hi rendition="#i">l f</hi> obige Werthe, so er-<lb/> halten wir erstens ein Glied, welches von den Coëfficienten <hi rendition="#i">b</hi><lb/> und <hi rendition="#i">c</hi> frei ist. Dasselbe ist die durch <hi rendition="#i">d o</hi> dividirte Entropie,<lb/> welche der in <hi rendition="#i">d o</hi> enthaltenen Gasmasse zukäme, wenn in der-<lb/> selben bei gleichem Energie-(Wärme-)Inhalte und bei gleicher<lb/> fortschreitender Bewegung im Raume das <hi rendition="#g">Maxwell</hi>’sche Ge-<lb/> schwindigkeitsvertheilungsgesetz herrschen würde. Es kann wie<lb/> in § 19 berechnet werden und hat, wie dort gezeigt, abgesehen<lb/> von einer Constanten, den Werth<lb/><hi rendition="#c"><formula/>.</hi><lb/> Zweitens erhalten wir Glieder, welche bezüglich der Coëfficienten<lb/><hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">c</hi> linear sind. Dieselben verschwinden jedoch sämmtlich.<lb/> Da nämlich <formula/> ist, wenn eine der<lb/> Zahlen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi> ungerade ist, so verschwinden die Coëfficienten<lb/> von <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">12</hi>, <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">13</hi>, <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">23</hi>, <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">2</hi> und <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">3</hi>. Sind aber alle drei Zahlen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi><lb/> gerade, so ändert das Integrale durch cyklische Vertauschung<lb/> von <hi rendition="#fr">x</hi><hi rendition="#sub">0</hi>, <hi rendition="#fr">y</hi><hi rendition="#sub">0</hi> und <hi rendition="#fr">z</hi><hi rendition="#sub">0</hi> seinen Werth nicht. Es erhalten also <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">11</hi>,<lb/><hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">22</hi> und <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">33</hi> denselben Coëfficienten und die Summe der be-<lb/> treffenden Glieder verschwindet ebenfalls, wegen<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">11</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">22</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">33</hi> = 0.</hi></p><lb/> <p>Da wir die Glieder von noch höherer Grössenordnung ver-<lb/> nachlässigen, so bleiben im Ausdrucke für <hi rendition="#i">J</hi> noch die Glieder<lb/> zweiter Ordnung bezüglich der Coëfficienten <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">c</hi>. Ihre<lb/> Summe ist:<lb/><hi rendition="#c"><formula/>.</hi></p><lb/> <p>Von derselben Grössenordnung sind freilich die nächsten<lb/> Glieder, welche zum Ausdrucke 242 hinzukommen sollten und<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [191/0205]
[Gleich. 249] § 24. Verallgemeinerte Entropie.
Wir wollen nun den Ausdruck H bloss für die in einem
Volumenelemente d o enthaltene Gasmasse bilden. Den so
gefundenen Werth multipliciren wir mit — R M und dividiren
durch d o. Die so gebildete Grösse sei
J = — R M ∫ fl f d ω.
J d o ist dann die Entropie der in d o enthaltenen Gasmasse.
Substituiren wir nun für f und l f obige Werthe, so er-
halten wir erstens ein Glied, welches von den Coëfficienten b
und c frei ist. Dasselbe ist die durch d o dividirte Entropie,
welche der in d o enthaltenen Gasmasse zukäme, wenn in der-
selben bei gleichem Energie-(Wärme-)Inhalte und bei gleicher
fortschreitender Bewegung im Raume das Maxwell’sche Ge-
schwindigkeitsvertheilungsgesetz herrschen würde. Es kann wie
in § 19 berechnet werden und hat, wie dort gezeigt, abgesehen
von einer Constanten, den Werth
[FORMEL].
Zweitens erhalten wir Glieder, welche bezüglich der Coëfficienten
b und c linear sind. Dieselben verschwinden jedoch sämmtlich.
Da nämlich [FORMEL] ist, wenn eine der
Zahlen a, b, c ungerade ist, so verschwinden die Coëfficienten
von b12, b13, b23, c1, c2 und c3. Sind aber alle drei Zahlen a, b, c
gerade, so ändert das Integrale durch cyklische Vertauschung
von x0, y0 und z0 seinen Werth nicht. Es erhalten also b11,
b22 und b33 denselben Coëfficienten und die Summe der be-
treffenden Glieder verschwindet ebenfalls, wegen
b11 + b22 + b33 = 0.
Da wir die Glieder von noch höherer Grössenordnung ver-
nachlässigen, so bleiben im Ausdrucke für J noch die Glieder
zweiter Ordnung bezüglich der Coëfficienten b und c. Ihre
Summe ist:
[FORMEL].
Von derselben Grössenordnung sind freilich die nächsten
Glieder, welche zum Ausdrucke 242 hinzukommen sollten und
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Zitationshilfe: | Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 191. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/205>, abgerufen am 16.07.2024. |