Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

[Gleich. 155] § 18. Gleichungen für den stationären Zustand.

Da hier in den beiden Ausdrücken links und rechts ganz
andere Variabeln vorkommen, so können diese Ausdrücke nur
gleich sein, wenn sie beide von allen Variabeln unabhängig,
also gleich einer von ξ, η, ζ, ξ₁, η₁, ζ₁ unabhängigen Grösse sind.

Da die y- und z-Axe in den zu lösenden Gleichungen
ganz in derselben Weise vertreten sind, so hätte man ebenso
gut die Gleichung
[Formel 1] beweisen können oder auch, dass der letzte Ausdruck wieder
gleich
[Formel 2] sein muss. Es sind also alle diese zweiten Differentialquotienten
gleich einer und derselben von ξ, η, ζ, ξ₁, η₁ und ζ₁ unab-
hängigen Grössen — 2h. Man zieht aus allen diesen Gleichungen
leicht die Consequenz, dass φ = — h m (ξ² + η² + ζ²) mehr
einer linearen Function von ξ, η, ζ sein muss. Die Coëfficienten
der letzteren kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit
in einer solchen Form schreiben, dass man erhält:
φ = — h m [(ξ — u)² + (η — v)² + (ξ — w)²] + l f₀,
wobei u, v, w und f₀ die neuen Constanten sind, die aber
natürlich ebenso wie h noch Functionen von x, y, z, t sein
können. Daraus folgt also weiter:
154) [Formel 3]
und ebenso erhält man:
155) [Formel 4] .

Diese Form müssen die Functionen f und F jedenfalls
haben, wenn die drei Gleichungen 147 für alle Werthe der
Variabeln erfüllt sein sollen. Man sieht leicht, dass auch um-
gekehrt, sobald f und F diese Form haben, die Gleichungen 147
in der That erfüllt sind, sobald nur u₁ = u, v₁ = v, w₁ = w ist.
Im Uebrigen können die Grössen f₀, F₀, u, v, w, h beliebige
Functionen von x, y, z und t sein.

Diese Functionen sind noch so zu bestimmen, dass die
beiden Gleichungen:

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