Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.
II. Abschnitt. [Gleich. 145] § 18. Allgemeinerer Beweis des Entropiesatzes. Behandlung der Gleichungen, welche dem stationären Zustande entsprechen. Wir wollen nun den speciellen Fall betrachten, dass Integrirt man das fünfte Glied des Ausdruckes in der Man sieht leicht, dass J d t die Gesammtzahl K der Mole- Dabei ist zu bedenken, dass wir die Volumenelemente d o II. Abschnitt. [Gleich. 145] § 18. Allgemeinerer Beweis des Entropiesatzes. Behandlung der Gleichungen, welche dem stationären Zustande entsprechen. Wir wollen nun den speciellen Fall betrachten, dass Integrirt man das fünfte Glied des Ausdruckes in der Man sieht leicht, dass J d t die Gesammtzahl K der Mole- Dabei ist zu bedenken, dass wir die Volumenelemente d o <TEI> <text> <body> <div n="1"> <pb facs="#f0138" n="124"/> <fw place="top" type="header">II. Abschnitt. [Gleich. 145]</fw><lb/> <div n="2"> <head>§ 18. <hi rendition="#g">Allgemeinerer Beweis des Entropiesatzes.<lb/> Behandlung der Gleichungen, welche dem stationären<lb/> Zustande entsprechen</hi>.</head><lb/> <p>Wir wollen nun den speciellen Fall betrachten, dass<lb/><hi rendition="#i">φ</hi> = <hi rendition="#i">l f</hi> und <hi rendition="#i">Φ</hi> = <hi rendition="#i">l F</hi> ist, wobei <hi rendition="#i">l</hi> den natürlichen Logarithmus<lb/> bedeutet. Dann wird<lb/><hi rendition="#c">Σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">ω, o</hi> φ</hi> = Σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">ω, o</hi> l f</hi> = <hi rendition="#i">∫ ∫ f l f d o d ω</hi>,<lb/><formula/>,</hi><lb/> und wir wollen setzen:<lb/> 144) <hi rendition="#et"><formula/>.</hi><lb/> Man hat nach Gleichung 141:<lb/> 145) <hi rendition="#et"><formula/>.</hi></p><lb/> <p>Integrirt man das fünfte Glied des Ausdruckes in der<lb/> Klammer bezüglich <hi rendition="#i">ξ</hi>, das sechste bezüglich <hi rendition="#i">η</hi>, das letzte be-<lb/> züglich <hi rendition="#i">ζ</hi>, so erhält man jedes Mal Null, da <hi rendition="#i">X, Y, Z</hi> nicht<lb/> Functionen von <hi rendition="#i">ξ, η, ζ</hi> sind und <hi rendition="#i">f</hi> für die Grenzen (— ∞, + ∞)<lb/> verschwindet. Integrirt man das zweite, dritte und vierte Glied<lb/> nach <hi rendition="#i">x</hi>, resp. <hi rendition="#i">y</hi> und <hi rendition="#i">z</hi>, so erhält man ein über die gesammte<lb/> Oberfläche des Gases erstrecktes Integral <hi rendition="#i">J</hi>. Ist <hi rendition="#i">d S</hi> ein Flächen-<lb/> element dieser Oberfläche und <hi rendition="#i">N</hi> die normal zu <hi rendition="#i">d S</hi> nach<lb/> aussen gerichtete Geschwindigkeit eines Moleküls <hi rendition="#i">m</hi>, so wird<lb/><hi rendition="#i">J</hi> = <hi rendition="#i">∫ ∫ d S d ω N f</hi>.</p><lb/> <p>Man sieht leicht, dass <hi rendition="#i">J d t</hi> die Gesammtzahl <hi rendition="#i">K</hi> der Mole-<lb/> küle darstellt, welche durch die ganze Fläche <hi rendition="#i">S</hi> mehr aus- als<lb/> eintreten, während das mit <hi rendition="#i">d t</hi> multiplicirte erste Glied<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> der rechten Seite der Gleichung 145 die gesammte Zunahme <hi rendition="#i">L</hi><lb/> darstellt, welche die Anzahl der innerhalb jener Fläche <hi rendition="#i">S</hi><lb/> liegenden Moleküle <hi rendition="#i">m</hi> während der Zeit <hi rendition="#i">d t</hi> erfährt.</p><lb/> <p>Dabei ist zu bedenken, dass wir die Volumenelemente <hi rendition="#i">d o</hi><lb/> nicht als fix betrachteten, sondern mit den Molekülen mit-<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [124/0138]
II. Abschnitt. [Gleich. 145]
§ 18. Allgemeinerer Beweis des Entropiesatzes.
Behandlung der Gleichungen, welche dem stationären
Zustande entsprechen.
Wir wollen nun den speciellen Fall betrachten, dass
φ = l f und Φ = l F ist, wobei l den natürlichen Logarithmus
bedeutet. Dann wird
Σω, o φ = Σω, o l f = ∫ ∫ f l f d o d ω,
[FORMEL],
und wir wollen setzen:
144) [FORMEL].
Man hat nach Gleichung 141:
145) [FORMEL].
Integrirt man das fünfte Glied des Ausdruckes in der
Klammer bezüglich ξ, das sechste bezüglich η, das letzte be-
züglich ζ, so erhält man jedes Mal Null, da X, Y, Z nicht
Functionen von ξ, η, ζ sind und f für die Grenzen (— ∞, + ∞)
verschwindet. Integrirt man das zweite, dritte und vierte Glied
nach x, resp. y und z, so erhält man ein über die gesammte
Oberfläche des Gases erstrecktes Integral J. Ist d S ein Flächen-
element dieser Oberfläche und N die normal zu d S nach
aussen gerichtete Geschwindigkeit eines Moleküls m, so wird
J = ∫ ∫ d S d ω N f.
Man sieht leicht, dass J d t die Gesammtzahl K der Mole-
küle darstellt, welche durch die ganze Fläche S mehr aus- als
eintreten, während das mit d t multiplicirte erste Glied
[FORMEL] der rechten Seite der Gleichung 145 die gesammte Zunahme L
darstellt, welche die Anzahl der innerhalb jener Fläche S
liegenden Moleküle m während der Zeit d t erfährt.
Dabei ist zu bedenken, dass wir die Volumenelemente d o
nicht als fix betrachteten, sondern mit den Molekülen mit-
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| Zitationshilfe: | Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 124. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/138>, abgerufen am 26.11.2024. |
