Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

[Gleich. 134 a] § 17. Ueber alle Moleküle erstreckte Summen.

Durch jeden dieser Zusammenstösse erfährt daher diese
Summe den Zuwachs φ' — φ und da die Anzahl dieser als
directe bezeichneten Zusammenstösse die durch die Formel 105
gegebene Grösse v₃ ist, so erhält man den gesammten Zuwachs
B₄(φ)d o d t, den die Summe Σ_{ω, d o} φ durch die Zusammenstösse
eines Moleküls m mit einem Moleküle m₁ überhaupt erfährt,
indem man das Product (φ' — φ) v₃ bei constantem d o und d t
über alle Werthe aller anderen Differentiale integrirt. Man
erhält so:
132) [Formel 1] .

Man hätte aber bei Berechnung von B₄(φ) ebenso gut von
der Betrachtung derjenigen Zusammenstösse ausgehen können,
welche zwischen einem Moleküle m und einem Moleküle m₁
während der Zeit d t in d o so geschehen, dass vor dem Stosse
die Variabeln zwischen den Grenzen 108 und 109 liegen und
welche wir wiederum als die inversen Zusammenstösse be-
zeichnen wollen. Für jeden derselben entsprach dem Mole-
küle m vor dem Stosse der Functionswerth φ', nach demselben
aber φ. Jeder derselben vermehrt also die Summe Σ_{ω, d o} φ
um φ — φ', alle zusammen daher um (φ — φ') i₃, wobei i₃ die
durch Formel 110 gegebene Anzahl der inversen Zusammen-
stösse ist.

Integriren wir bei unverändertem d o und d t über alle
übrigen Differentiale, so müssen wir wieder die mit B₄(φ)d o d t
bezeichnete Grösse erhalten. Es ergibt sich aber dann:
133) [Formel 2] .

Wir können daher auch B₄(φ) gleich dem arithmetischen
Mittel der beiden eben gefundenen Werthe setzen und erhalten so:
134) [Formel 3] .

Die Integration der Formel 124 dagegen würde liefern:
134a) [Formel 4] .