Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

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[Gleich. 101] § 15. Differentialgleichung für f und F.

wollen wir wieder kurz die hervorgehobenen Moleküle oder
noch charakteristischer die "d n Moleküle" nennen. Ihre An-
zahl ist offenbar proportional dem Producte d o ; d o. Denn
alle dem Parallelepipede d o unmittelbar benachbarten Volumen-
elemente befinden sich nahe unter den gleichen Umständen,
so dass also in einem doppelt so grossen Parallelepipede auch
doppelt so viele Moleküle liegen würden. Wir können daher
diese Anzahl
99) d n = f (x, y, z, x, e, z, t) do d o
setzen. Analog sei die Anzahl der Moleküle m1 der zweiten
Gasart, welche zur Zeit t denselben Bedingungen 97 und 98
genügen:
100) d N = F (x, y, z, x, e, z, t) d o d o = F d o d o.

Die beiden Functionen f und F charakterisiren den Be-
wegungszustand, das Mischungsverhältniss und die Geschwindig-
keitsvertheilung an allen Stellen des Gasgemisches vollständig.
Wenn sie für den Zeitanfang t = 0 gegeben sind, wenn also
die Functionswerthe f (x, y, z, x, e, z, 0) und F (x, y, z, x, e, z, 0) für
alle Werthe der Variabeln und ausserdem noch die äusseren
Kräfte, die Molekularkräfte und die an der Grenze des Gases
zu erfüllenden Bedingungen gegeben sind, so ist das Problem
vollständig bestimmt und es ist vollständig gelöst, wenn man
die Werthe der Functionen f und F für alle Werthe von t
gefunden hat. Vorausgesetzt ist hierbei immer, dass der Zu-
stand molekular-ungeordnet ist. Hier wird es sich natürlich
zunächst darum handeln, für die Veränderung der Function f
während einer sehr kleinen Zeit eine partielle Differential-
gleichung zu gewinnen.

Wir wollen daher eine sehr kleine Zeit d t verstreichen
lassen und während derselben Grösse und Lage der Parallel-
epipede d o und d o vollkommen unverändert erhalten. Die An-
zahl der Moleküle m, welche zur Zeit t + d t die Bedingungen 97
und 98 erfüllen, ist nach Formel 99
d n' = f (x, y, z, x, e, z, t + d t) d o d o
und der gesammte Zuwachs, welchen die Zahl d n während der
Zeit d t erfährt, ist
101) [Formel 1]

[Gleich. 101] § 15. Differentialgleichung für f und F.

wollen wir wieder kurz die hervorgehobenen Moleküle oder
noch charakteristischer die „d n Moleküle“ nennen. Ihre An-
zahl ist offenbar proportional dem Producte d o · d ω. Denn
alle dem Parallelepipede d o unmittelbar benachbarten Volumen-
elemente befinden sich nahe unter den gleichen Umständen,
so dass also in einem doppelt so grossen Parallelepipede auch
doppelt so viele Moleküle liegen würden. Wir können daher
diese Anzahl
99) d n = f (x, y, z, ξ, η, ζ, t) do d ω
setzen. Analog sei die Anzahl der Moleküle m1 der zweiten
Gasart, welche zur Zeit t denselben Bedingungen 97 und 98
genügen:
100) d N = F (x, y, z, ξ, η, ζ, t) d o d ω = F d o d ω.

Die beiden Functionen f und F charakterisiren den Be-
wegungszustand, das Mischungsverhältniss und die Geschwindig-
keitsvertheilung an allen Stellen des Gasgemisches vollständig.
Wenn sie für den Zeitanfang t = 0 gegeben sind, wenn also
die Functionswerthe f (x, y, z, ξ, η, ζ, 0) und F (x, y, z, ξ, η, ζ, 0) für
alle Werthe der Variabeln und ausserdem noch die äusseren
Kräfte, die Molekularkräfte und die an der Grenze des Gases
zu erfüllenden Bedingungen gegeben sind, so ist das Problem
vollständig bestimmt und es ist vollständig gelöst, wenn man
die Werthe der Functionen f und F für alle Werthe von t
gefunden hat. Vorausgesetzt ist hierbei immer, dass der Zu-
stand molekular-ungeordnet ist. Hier wird es sich natürlich
zunächst darum handeln, für die Veränderung der Function f
während einer sehr kleinen Zeit eine partielle Differential-
gleichung zu gewinnen.

Wir wollen daher eine sehr kleine Zeit d t verstreichen
lassen und während derselben Grösse und Lage der Parallel-
epipede d o und d ω vollkommen unverändert erhalten. Die An-
zahl der Moleküle m, welche zur Zeit t + d t die Bedingungen 97
und 98 erfüllen, ist nach Formel 99
d n' = f (x, y, z, ξ, η, ζ, t + d t) d o d ω
und der gesammte Zuwachs, welchen die Zahl d n während der
Zeit d t erfährt, ist
101) [Formel 1]

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Zitationshilfe:	Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 101. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/115>, abgerufen am 24.11.2024.

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