Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Wir setzen wieder
$\frac{\cos kr}{r} = f_r + \frac{1}{r}$,
$\Psi = \Psi' + \Psi''$,
$\Psi' = \int pf_rd\omega$,
$\Psi'' = \int p\frac{1}{r}d\omega$.

Ψ' ist jedenfalls endlich, wenn p und die Gröſse der Fläche Ω endlich sind,
da f_r immer endlich ist. Daſs Ψ″ unter denselben Bedingungen endlich ist,
ist aus der Theorie der electrischen Potentialfunctionen bekannt, ebenso daſs
Ψ″ auf beiden Seiten dicht an der Fläche dieselben Werthe hat. Daſs letz-
teres auch mit Ψ' und also auch mit Ψ der Fall sei, ist leicht zu ersehen,
da f_r, auch wenn man durch die Schicht selbst hindurchgeht, sich immer nur
continuirlich ändern kann. Dagegen wissen wir, daſs die Differentialquotienten
von Ψ″ an der Fläche einen endlichen Sprung ihres Werthes erleiden, wäh-
rend leicht zu erkennen ist, daſs die von Ψ' an der Fläche continuirlich sein
müssen. Denken wir uns durch eine geschlossene Linie, die in unendlich
kleiner Entfernung den Fuſspunkt des von x, y, z auf die Fläche Ω gefällten
Lothes umgiebt, ein Stück Ω₀ aus der Fläche herausgeschnitten und das Integral
$\int pf_rd\omega$getheilt in $\Psi'_0$, welches über die Fläche Ω₀, und $\Psi'_1$, welches über
den Rest der Fläche ausgedehnt ist, so daſs
$\Psi' = \Psi'_0 + \Psi'_1$.

Nun ist die Gröſse
$\frac{df_r}{dx} = -\frac{k^2}{2}\frac{x-\alpha}{r}$
für unendlich kleine Werthe von r, bleibt also endlich, macht aber einen
Sprung, wenn man von positiven Werthen von x — a durch r = 0 nach ne-
gativen übergeht, ist dagegen continuirlich, wenn man nicht durch r = 0 hin-
durchgeht. Letzteres geschieht nun keinenfalls, wenn man in $\Psi'_1$ die Werthe
von x, y, z sich ändern läſst. Dagegen ist $\frac{d\Psi'_0}{dx}$, wo allerdings ein Sprung
eintreten würde, unendlich klein als das Integral einer endlichen Gröſse über
eine unendlich kleine Fläche genommen, und wir können deshalb seinen Werth
gegen $\frac{d\Psi'_1}{dx}$ und $\frac{d\Psi''}{dx}$ vernachlässigen. Folglich sind die Differentialquotienten
von Ψ', welches gleich $\Psi'_0 + \Psi'_1$ ist, continuirlich, und die von Ψ müssen an