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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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derselben in die Gleichungen (1, 2, 3, 4), so überzeugt man sich mit Hülfe der Re-
lationen (6, 7) leicht, dass in jeder dieser Gleichungen die linke Seite identisch = 0
wird.

Es ist bei den vorstehenden Entwickelungen ausdrücklich angenommen worden,
dass die Wurzeln der Gleichung R (x) = 0, a1, a2, ..., a2n+1 sämmtlich reell und
ihrer Grösse nach geordnet seien. Gleichwohl behalten die gewonnenen Resultate
unverändert und ohne Ausnahme ihre Gültigkeit, wenn auch diese Bedingungen nicht
erfüllt sind; es bedarf alsdann nur einer geeigneten Modification der in §. 1 getroffe-
nen Bestimmungen hinsichtlich der Festsetzung desjenigen Werthes von sqrtR(x), der
bei jeder einzelnen Integration genommen werden muss. Ich kann jedoch, des be-
schränkten Raumes wegen, in nähere Erörterungen über diesen Gegenstand nicht ein-
gehen. Ebenso muss ich es mir versagen, über den in der Einleitung erwähnten
Gebrauch der entwickelten Relationen auch nur andeutungsweise etwas Näheres anzu-
geben. Ich begnüge mich schliesslich -- besonders um darauf hinzuweisen, dass
auch die zuletzt gegebenen Entwickelungen nicht ohne Bedeutung sind -- den allge-
meinen Ausdruck der Hülfsfunctionen hinzustellen, auf welche die Abel'schen Transcen-
denten zurückgeführt werden können.

Es seien t1, t2, ..., tn unbeschränkt veränderliche Grössen; m1, m2, ... mn,
n1, n2, ..., nn ganze Zahlen, von denen jede entweder = 0, oder = 1 zu nehmen
ist; a1, a2, ... an, veränderliche ganze Zahlen, deren jede unabhängig von den übrigen
jeden zwischen den Grenzen -- infinity und + infinity enthaltenen Werth annehmen kann; man
bezeichne ferner pHa, b durch tha, b, [Formel 1] durch ea, b, und bilde die unendliche Reihe
[Formel 2] ,
wo sich das Summenzeichen S auf a, b S aber auf a1, a2 . . . . bezieht. Be-
zeichnet man die durch diese Reihe dargestellte Function von t1, t2, . . . . durch
H1 (t1, t2, . . . ., tn), so hat dieselbe je nach den verschiedenen Werthen, die
man den Zahlen ma, na geben kann, 4n verschiedene Formen, welche den Jacobi'schen
L Functionen, in welche sie für n = 1 übergehen, durchaus analog sind. Führt man
nun statt t1, t2, ... die Argumente u1, u2, ... ein, indem man
ta = e1,a u1 + e2,a u2 + . . . . + en,a un
setzt, so erhält man die erwähnten Hülfsfunctionen von u1, u2, ... un, durch welche

derselben in die Gleichungen (1, 2, 3, 4), so überzeugt man sich mit Hülfe der Re-
lationen (6, 7) leicht, dass in jeder dieser Gleichungen die linke Seite identisch = 0
wird.

Es ist bei den vorstehenden Entwickelungen ausdrücklich angenommen worden,
dass die Wurzeln der Gleichung R (x) = 0, a1, a2, …, a2n+1 sämmtlich reell und
ihrer Grösse nach geordnet seien. Gleichwohl behalten die gewonnenen Resultate
unverändert und ohne Ausnahme ihre Gültigkeit, wenn auch diese Bedingungen nicht
erfüllt sind; es bedarf alsdann nur einer geeigneten Modification der in §. 1 getroffe-
nen Bestimmungen hinsichtlich der Festsetzung desjenigen Werthes von √R(x), der
bei jeder einzelnen Integration genommen werden muss. Ich kann jedoch, des be-
schränkten Raumes wegen, in nähere Erörterungen über diesen Gegenstand nicht ein-
gehen. Ebenso muss ich es mir versagen, über den in der Einleitung erwähnten
Gebrauch der entwickelten Relationen auch nur andeutungsweise etwas Näheres anzu-
geben. Ich begnüge mich schliesslich — besonders um darauf hinzuweisen, dass
auch die zuletzt gegebenen Entwickelungen nicht ohne Bedeutung sind — den allge-
meinen Ausdruck der Hülfsfunctionen hinzustellen, auf welche die Abel’schen Transcen-
denten zurückgeführt werden können.

Es seien t1, t2, …, tn unbeschränkt veränderliche Grössen; μ1, μ2, … μn,
ν1, ν2, …, νn ganze Zahlen, von denen jede entweder = 0, oder = 1 zu nehmen
ist; α1, α2, … αn, veränderliche ganze Zahlen, deren jede unabhängig von den übrigen
jeden zwischen den Grenzen — ∞ und + ∞ enthaltenen Werth annehmen kann; man
bezeichne ferner πHa, b durch ϑa, b, [Formel 1] durch ηa, b, und bilde die unendliche Reihe
[Formel 2] ,
wo sich das Summenzeichen Σ auf a, b S aber auf α1, α2 . . . . bezieht. Be-
zeichnet man die durch diese Reihe dargestellte Function von t1, t2, . . . . durch
H1 (t1, t2, . . . ., tn), so hat dieselbe je nach den verschiedenen Werthen, die
man den Zahlen μa, νa geben kann, 4n verschiedene Formen, welche den Jacobi’schen
Λ Functionen, in welche sie für n = 1 übergehen, durchaus analog sind. Führt man
nun statt t1, t2, … die Argumente u1, u2, … ein, indem man
ta = η1,a u1 + η2,a u2 + . . . . + ηn,a un
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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 22. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/27>, abgerufen am 20.04.2024.