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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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so wie ferner
5. [Formel 1]
6. [Formel 2]
Auf diese Weise sind in die Theorie der Abel'schen Transcendenten (2n + 1) Func-
tionen eingeführt, welche mit den drei elliptischen Functionen sin am u = sn u,
cos am u = cn u, D am u = dn u, in welche sie für n = 1 übergehen, eine grosse
Aehnlichkeit haben. So z. B. lässt sich sn (u + v) rational durch sn u, [Formel 3] , sn v, [Formel 4]
ausdrücken vermittelst der Formel
[Formel 5] ,
und ähnliche Formeln gelten für en (u + v) und dn (u + v). Für die angegebenen Func-
tionen mehrerer Veränderlichen aber findet man, [Formel 6] setzend:
2. [Formel 7]

Setzt man in dieser Gleichung b der Reihe nach = 1, 2, ..., n, so erhält man
n Gleichungen, vermittelst welcher die n Functionen sn (u1 + v1, u2 + v2, ...)a rational
durch sn (u1, u2, ...)a, sn (v1, v2, ...)a und deren partiellen Differential-Coefficienten,
welche letztere algebraische Functionen jener sind, ausgedrückt werden können. Aehn-
liches gilt für die durch cn, dn bezeichneten Functionen. Bezeichnet man ferner
8. [Formel 8] durch Ka, b,
9. [Formel 9] durch [Formel 10]
und setzt 10. [Formel 11] ,

so wie ferner
5. [Formel 1]
6. [Formel 2]
Auf diese Weise sind in die Theorie der Abel’schen Transcendenten (2n + 1) Func-
tionen eingeführt, welche mit den drei elliptischen Functionen sin am u = sn u,
cos am u = cn u, Δ am u = dn u, in welche sie für n = 1 übergehen, eine grosse
Aehnlichkeit haben. So z. B. lässt sich sn (u + v) rational durch sn u, [Formel 3] , sn v, [Formel 4]
ausdrücken vermittelst der Formel
[Formel 5] ,
und ähnliche Formeln gelten für en (u + v) und dn (u + v). Für die angegebenen Func-
tionen mehrerer Veränderlichen aber findet man, [Formel 6] setzend:
2. [Formel 7]

Setzt man in dieser Gleichung b der Reihe nach = 1, 2, …, n, so erhält man
n Gleichungen, vermittelst welcher die n Functionen sn (u1 + v1, u2 + v2, …)a rational
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welche letztere algebraische Functionen jener sind, ausgedrückt werden können. Aehn-
liches gilt für die durch cn, dn bezeichneten Functionen. Bezeichnet man ferner
8. [Formel 8] durch Ka, b,
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[12/0017] so wie ferner 5. [FORMEL] 6. [FORMEL] Auf diese Weise sind in die Theorie der Abel’schen Transcendenten (2n + 1) Func- tionen eingeführt, welche mit den drei elliptischen Functionen sin am u = sn u, cos am u = cn u, Δ am u = dn u, in welche sie für n = 1 übergehen, eine grosse Aehnlichkeit haben. So z. B. lässt sich sn (u + v) rational durch sn u, [FORMEL], sn v, [FORMEL] ausdrücken vermittelst der Formel [FORMEL], und ähnliche Formeln gelten für en (u + v) und dn (u + v). Für die angegebenen Func- tionen mehrerer Veränderlichen aber findet man, [FORMEL] setzend: 2. [FORMEL] Setzt man in dieser Gleichung b der Reihe nach = 1, 2, …, n, so erhält man n Gleichungen, vermittelst welcher die n Functionen sn (u1 + v1, u2 + v2, …)a rational durch sn (u1, u2, …)a, sn (v1, v2, …)a und deren partiellen Differential-Coefficienten, welche letztere algebraische Functionen jener sind, ausgedrückt werden können. Aehn- liches gilt für die durch cn, dn bezeichneten Functionen. Bezeichnet man ferner 8. [FORMEL] durch Ka, b, 9. [FORMEL] durch [FORMEL] und setzt 10. [FORMEL],

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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 12. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/17>, abgerufen am 24.04.2024.