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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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Wenn aber n = m + 1, so kann man den Werth des Doppel-Integrals
[Formel 1] ,
welches durch S bezeichnet werden möge, mit Hülfe der Gleichung (2) nicht di-
rekt auf dieselbe Weise ermitteln; man gelangt jedoch dazu auf folgendem Wege.

Es werde am durch a, am + 1 durch c, am + 2 durch b bezeichnet, so ist
[Formel 2]

Sodann seien s, t zwei positive Zahlen, so gewählt, dass c -- s > a und
c + t < b bleibt, so ist S die Grenze, welcher sich das Doppel-Integral
[Formel 3] uähert, wenn s, t unendlich klein werden. Für dieses letztere Integral aber darf man
vermöge der Gleichung (2) setzen
[Formel 4] Dieser Ausdruck wandelt sich, wenn x = c--u, y = c + v gesetzt wird, in den folgenden um:
[Formel 5]

Es mögen jetzt s, t zwei bestimmte Werthe von s und t bezeichnen, die nur so
klein anzunehmen sind, dass sich sqrtR (c -- s), sqrtR (c + t) für alle Werthe von s, t,
welche nicht grösser als s, t sind, durch convergirende Reihen, die nach aufsteigenden
Potenzen dieser Veränderlichen fortschreiten, darstellen lassen. Alsdann hat man
[Formel 6]

Wenn aber ν = μ + 1, so kann man den Werth des Doppel-Integrals
[Formel 1] ,
welches durch S bezeichnet werden möge, mit Hülfe der Gleichung (2) nicht di-
rekt auf dieselbe Weise ermitteln; man gelangt jedoch dazu auf folgendem Wege.

Es werde aμ durch a, aμ + 1 durch c, aμ + 2 durch b bezeichnet, so ist
[Formel 2]

Sodann seien s, t zwei positive Zahlen, so gewählt, dass c — s > a und
c + t < b bleibt, so ist S die Grenze, welcher sich das Doppel-Integral
[Formel 3] uähert, wenn s, t unendlich klein werden. Für dieses letztere Integral aber darf man
vermöge der Gleichung (2) setzen
[Formel 4] Dieser Ausdruck wandelt sich, wenn x = c—u, y = c + v gesetzt wird, in den folgenden um:
[Formel 5]

Es mögen jetzt σ, τ zwei bestimmte Werthe von s und t bezeichnen, die nur so
klein anzunehmen sind, dass sich √R (c — s), √R (c + t) für alle Werthe von s, t,
welche nicht grösser als σ, τ sind, durch convergirende Reihen, die nach aufsteigenden
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[6/0011] Wenn aber ν = μ + 1, so kann man den Werth des Doppel-Integrals [FORMEL], welches durch S bezeichnet werden möge, mit Hülfe der Gleichung (2) nicht di- rekt auf dieselbe Weise ermitteln; man gelangt jedoch dazu auf folgendem Wege. Es werde aμ durch a, aμ + 1 durch c, aμ + 2 durch b bezeichnet, so ist [FORMEL] Sodann seien s, t zwei positive Zahlen, so gewählt, dass c — s > a und c + t < b bleibt, so ist S die Grenze, welcher sich das Doppel-Integral [FORMEL] uähert, wenn s, t unendlich klein werden. Für dieses letztere Integral aber darf man vermöge der Gleichung (2) setzen [FORMEL] Dieser Ausdruck wandelt sich, wenn x = c—u, y = c + v gesetzt wird, in den folgenden um: [FORMEL] Es mögen jetzt σ, τ zwei bestimmte Werthe von s und t bezeichnen, die nur so klein anzunehmen sind, dass sich √R (c — s), √R (c + t) für alle Werthe von s, t, welche nicht grösser als σ, τ sind, durch convergirende Reihen, die nach aufsteigenden Potenzen dieser Veränderlichen fortschreiten, darstellen lassen. Alsdann hat man [FORMEL]

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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 6. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/11>, abgerufen am 19.04.2024.