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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Erstes Buch
kan ein anders gleichseitiges Vielekk innerhalb desselben Kreisses beschrieben werden/ dessen
Umblauf von einem jeden/ gemeldter sechs Abschnitte/ mehr als die Helfte hinweg nehme/ und
dieses kan so oft geschehen/ biß solche übrige Abschnittlein zusammen kleiner werden/ als die
gegebene Fläche B. Dann wann ich zum Exempel den Kreißbogen BDC in D halbteihle (und
eben so auch die andern fünf Bögen) und ziehe die Lineen CD und BD, so wird an statt des vo-
rigen Sechsekkes ein gleichseitiges Zwölf-Ekk beschrieben/ und von jedem Abschnitt mehr als
die Helfte weggenommen/ welches also erhellet: Man ziehe/ nach dem 17den des III. Buchs/
EF, daß sie den Kreiß in D berühre/ so wird EF mit BC gleich lauffen/ Krafft der Anmer-
kung des 27sten im III. Buch/ und AD auf alle beyde Winkel recht fallen/ vermög des
18den erstgemeldten Buchs. So nun die beyde ablange Vierungen BD und DC gar voll-
zogen werden/ ist offenbar aus dem 34sten des I. Buchs/ daß das Dreyekk BDC die Helfte
sey der ganzen Vierung BCFE. Nun aber gemeldte Vierung augenscheinlich grösser ist als
der Abschnitt BDC, so wird auch gemeldtes Dreyekk grösser seyn als der halbe Abschnitt/ und
ist also (wann solches auch in denen andern Abschnitten geschihet) durch besagtes Zwölfekk
(dessen Seiten/ Krafft des 29sten im 3. Buch/ einander gleich sind) mehr als die Helfte
weggenommen worden. Wann nun solches ferner widerholet wird/ so müssen endlich/ Krafft
obangezogenen 1sten des 10. Buchs/ gemeldte Abschnitte zusammen kleiner werden als
die gegebene Fläche B, welches zu beweisen war. Daß aber eben dieses/ was von einem ein-
geschriebenen Vielekk hier gelehret ist/ obgemeldter Rivalt auch von denen ausserhalb umb den
Kreiß beschriebenen absonderlich beweiset/ scheinet vergeblich zu seyn/ weil es eben das jenige ist/
was Archimedes in dem folgenden Lehrsatz fürleget/ als wir jetzund sehen werden/ wann wir
zuvor dieses einige noch erinnert haben/ daß alles/ was hier von einem ganzen Kreiß gesagt wor-
den/ auch von einem jeden Kreiß-Teihl oder Stükk zu verstehen und samt dem Beweiß leicht-
lich dahin zu ziehen sey.

Der VI. Lehrsatz/
Und
Die Künfte Aufgab.

Umb einen gegebenen Kreiß oder Kreiß-Teihl ein Vielekk be-
schreiben/ also daß die äussere/ zwischen dem Kreiß und dem Umb-
lauf des Vielekkes enthaltene/ Abschnitte zusammen kleiner seyen
als eine auch gegebene Fläche.

Auflösung.

Daß dieses möglich sey zu beweisen/ gibt Archimedes (nach dem er bedin-
get/ daß/ was von einem ganzen Kreiß bewiesen wird/ auch von einem Stükk des
Kreisses/ wie in denen vorigen Lehrsätzen/ zu verstehen sey) einen Kreiß A und
darneben die Fläche B; Heisset darneben/ als zwey ungleiche Grössen/ betrachten
den Kreiß samt der gegebenen Fläche/ als eine und die grösseste/ und dann den
Kreiß allein als die kleineste; darauf/ nach vorhergehendem V. Lehrsatz/ ein
Vielekk innerhalb des Kreisses und ein anders aussen umb denselben beschreiben/
also daß das äussere gegen dem innern eine kleinere Verhältnis habe/ als die grös-
seste gemeldter zweyen ungleichen Grössen gegen der kleinern/ das ist/ als der Kreiß
samt der gegebenen Fläche gegen dem Kreiß allein. Wann dieses geschehen/
spricht er/ so werden die Abschnitte des äussern Vielekkes zusammen kleiner seyn
als die gegebene Fläche B. Welches dann also bewiesen wird:

Beweiß.

Das äussere Vielekk ist grösser/ das innere aber kleiner als der Kreiß/
vermög des obigen IX. Grundsatzes/ und deßwegen hat das äussere Vielekk

gegen

Archimedis Erſtes Buch
kan ein anders gleichſeitiges Vielekk innerhalb deſſelben Kreiſſes beſchrieben werden/ deſſen
Umblauf von einem jeden/ gemeldter ſechs Abſchnitte/ mehr als die Helfte hinweg nehme/ und
dieſes kan ſo oft geſchehen/ biß ſolche uͤbrige Abſchnittlein zuſammen kleiner werden/ als die
gegebene Flaͤche B. Dann wann ich zum Exempel den Kreißbogen BDC in D halbteihle (und
eben ſo auch die andern fuͤnf Boͤgen) und ziehe die Lineen CD und BD, ſo wird an ſtatt des vo-
rigen Sechsekkes ein gleichſeitiges Zwoͤlf-Ekk beſchrieben/ und von jedem Abſchnitt mehr als
die Helfte weggenommen/ welches alſo erhellet: Man ziehe/ nach dem 17den des III. Buchs/
EF, daß ſie den Kreiß in D beruͤhre/ ſo wird EF mit BC gleich lauffen/ Krafft der Anmer-
kung des 27ſten im III. Buch/ und AD auf alle beyde Winkel recht fallen/ vermoͤg des
18den erſtgemeldten Buchs. So nun die beyde ablange Vierungen BD und DC gar voll-
zogen werden/ iſt offenbar aus dem 34ſten des I. Buchs/ daß das Dreyekk BDC die Helfte
ſey der ganzen Vierung BCFE. Nun aber gemeldte Vierung augenſcheinlich groͤſſer iſt als
der Abſchnitt BDC, ſo wird auch gemeldtes Dreyekk groͤſſer ſeyn als der halbe Abſchnitt/ und
iſt alſo (wann ſolches auch in denen andern Abſchnitten geſchihet) durch beſagtes Zwoͤlfekk
(deſſen Seiten/ Krafft des 29ſten im 3. Buch/ einander gleich ſind) mehr als die Helfte
weggenommen worden. Wann nun ſolches ferner widerholet wird/ ſo muͤſſen endlich/ Krafft
obangezogenen 1ſten des 10. Buchs/ gemeldte Abſchnitte zuſammen kleiner werden als
die gegebene Flaͤche B, welches zu beweiſen war. Daß aber eben dieſes/ was von einem ein-
geſchriebenen Vielekk hier gelehret iſt/ obgemeldter Rivalt auch von denen auſſerhalb umb den
Kreiß beſchriebenen abſonderlich beweiſet/ ſcheinet vergeblich zu ſeyn/ weil es eben das jenige iſt/
was Archimedes in dem folgenden Lehrſatz fuͤrleget/ als wir jetzund ſehen werden/ wann wir
zuvor dieſes einige noch erinnert haben/ daß alles/ was hier von einem ganzen Kreiß geſagt wor-
den/ auch von einem jeden Kreiß-Teihl oder Stuͤkk zu verſtehen und ſamt dem Beweiß leicht-
lich dahin zu ziehen ſey.

Der VI. Lehrſatz/
Und
Die Kuͤnfte Aufgab.

Umb einen gegebenen Kreiß oder Kreiß-Teihl ein Vielekk be-
ſchreiben/ alſo daß die aͤuſſere/ zwiſchen dem Kreiß und dem Umb-
lauf des Vielekkes enthaltene/ Abſchnitte zuſammen kleiner ſeyen
als eine auch gegebene Flaͤche.

Aufloͤſung.

Daß dieſes moͤglich ſey zu beweiſen/ gibt Archimedes (nach dem er bedin-
get/ daß/ was von einem ganzen Kreiß bewieſen wird/ auch von einem Stuͤkk des
Kreiſſes/ wie in denen vorigen Lehrſaͤtzen/ zu verſtehen ſey) einen Kreiß A und
darneben die Flaͤche B; Heiſſet darneben/ als zwey ungleiche Groͤſſen/ betrachten
den Kreiß ſamt der gegebenen Flaͤche/ als eine und die groͤſſeſte/ und dann den
Kreiß allein als die kleineſte; darauf/ nach vorhergehendem V. Lehrſatz/ ein
Vielekk innerhalb des Kreiſſes und ein anders auſſen umb denſelben beſchreiben/
alſo daß das aͤuſſere gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die groͤſ-
ſeſte gemeldter zweyen ungleichen Groͤſſen gegen der kleinern/ das iſt/ als der Kreiß
ſamt der gegebenen Flaͤche gegen dem Kreiß allein. Wann dieſes geſchehen/
ſpricht er/ ſo werden die Abſchnitte des aͤuſſern Vielekkes zuſammen kleiner ſeyn
als die gegebene Flaͤche B. Welches dann alſo bewieſen wird:

Beweiß.

Das aͤuſſere Vielekk iſt groͤſſer/ das innere aber kleiner als der Kreiß/
vermoͤg des obigen IX. Grundſatzes/ und deßwegen hat das aͤuſſere Vielekk

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[20/0048] Archimedis Erſtes Buch kan ein anders gleichſeitiges Vielekk innerhalb deſſelben Kreiſſes beſchrieben werden/ deſſen Umblauf von einem jeden/ gemeldter ſechs Abſchnitte/ mehr als die Helfte hinweg nehme/ und dieſes kan ſo oft geſchehen/ biß ſolche uͤbrige Abſchnittlein zuſammen kleiner werden/ als die gegebene Flaͤche B. Dann wann ich zum Exempel den Kreißbogen BDC in D halbteihle (und eben ſo auch die andern fuͤnf Boͤgen) und ziehe die Lineen CD und BD, ſo wird an ſtatt des vo- rigen Sechsekkes ein gleichſeitiges Zwoͤlf-Ekk beſchrieben/ und von jedem Abſchnitt mehr als die Helfte weggenommen/ welches alſo erhellet: Man ziehe/ nach dem 17den des III. Buchs/ EF, daß ſie den Kreiß in D beruͤhre/ ſo wird EF mit BC gleich lauffen/ Krafft der Anmer- kung des 27ſten im III. Buch/ und AD auf alle beyde Winkel recht fallen/ vermoͤg des 18den erſtgemeldten Buchs. So nun die beyde ablange Vierungen BD und DC gar voll- zogen werden/ iſt offenbar aus dem 34ſten des I. Buchs/ daß das Dreyekk BDC die Helfte ſey der ganzen Vierung BCFE. Nun aber gemeldte Vierung augenſcheinlich groͤſſer iſt als der Abſchnitt BDC, ſo wird auch gemeldtes Dreyekk groͤſſer ſeyn als der halbe Abſchnitt/ und iſt alſo (wann ſolches auch in denen andern Abſchnitten geſchihet) durch beſagtes Zwoͤlfekk (deſſen Seiten/ Krafft des 29ſten im 3. Buch/ einander gleich ſind) mehr als die Helfte weggenommen worden. Wann nun ſolches ferner widerholet wird/ ſo muͤſſen endlich/ Krafft obangezogenen 1ſten des 10. Buchs/ gemeldte Abſchnitte zuſammen kleiner werden als die gegebene Flaͤche B, welches zu beweiſen war. Daß aber eben dieſes/ was von einem ein- geſchriebenen Vielekk hier gelehret iſt/ obgemeldter Rivalt auch von denen auſſerhalb umb den Kreiß beſchriebenen abſonderlich beweiſet/ ſcheinet vergeblich zu ſeyn/ weil es eben das jenige iſt/ was Archimedes in dem folgenden Lehrſatz fuͤrleget/ als wir jetzund ſehen werden/ wann wir zuvor dieſes einige noch erinnert haben/ daß alles/ was hier von einem ganzen Kreiß geſagt wor- den/ auch von einem jeden Kreiß-Teihl oder Stuͤkk zu verſtehen und ſamt dem Beweiß leicht- lich dahin zu ziehen ſey. Der VI. Lehrſatz/ Und Die Kuͤnfte Aufgab. Umb einen gegebenen Kreiß oder Kreiß-Teihl ein Vielekk be- ſchreiben/ alſo daß die aͤuſſere/ zwiſchen dem Kreiß und dem Umb- lauf des Vielekkes enthaltene/ Abſchnitte zuſammen kleiner ſeyen als eine auch gegebene Flaͤche. Aufloͤſung. Daß dieſes moͤglich ſey zu beweiſen/ gibt Archimedes (nach dem er bedin- get/ daß/ was von einem ganzen Kreiß bewieſen wird/ auch von einem Stuͤkk des Kreiſſes/ wie in denen vorigen Lehrſaͤtzen/ zu verſtehen ſey) einen Kreiß A und darneben die Flaͤche B; Heiſſet darneben/ als zwey ungleiche Groͤſſen/ betrachten den Kreiß ſamt der gegebenen Flaͤche/ als eine und die groͤſſeſte/ und dann den Kreiß allein als die kleineſte; darauf/ nach vorhergehendem V. Lehrſatz/ ein Vielekk innerhalb des Kreiſſes und ein anders auſſen umb denſelben beſchreiben/ alſo daß das aͤuſſere gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die groͤſ- ſeſte gemeldter zweyen ungleichen Groͤſſen gegen der kleinern/ das iſt/ als der Kreiß ſamt der gegebenen Flaͤche gegen dem Kreiß allein. Wann dieſes geſchehen/ ſpricht er/ ſo werden die Abſchnitte des aͤuſſern Vielekkes zuſammen kleiner ſeyn als die gegebene Flaͤche B. Welches dann alſo bewieſen wird: Beweiß. Das aͤuſſere Vielekk iſt groͤſſer/ das innere aber kleiner als der Kreiß/ vermoͤg des obigen IX. Grundſatzes/ und deßwegen hat das aͤuſſere Vielekk gegen

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 20. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/48>, abgerufen am 16.04.2024.