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Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. T. 1. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1874), Sp. 509-526.

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Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
[Spaltenumbruch] Konstruktionstheile *). Da die Stützen eines Balkenfach-
werks den Formveränderungen desselben kein Hinderniß ent-
gegensetzen, so gehört zu den möglichen Formveränderungen
offenbar auch diejenige, bei welcher das Fachwerk seiner ur-
sprünglichen Form ähnlich bleibt. Die Gleichungen 3) oder 4)
welche für alle Formänderungen gelten, sind demnach auch dann
anwendbar, wenn das Verhältniß [Formel 1] für alle Konstruktions-
theile denselben Werth hat. Multiplicirt man die Gleichun-
gen 3) und 4) mit diesem konstanten Zahlenwerth, so ent-
stehen die Beziehungen zwischen den Längen l1, l2, l3 ....
der überzähligen und den Längen l(1), l(2), l(3) .... der
nothwendigen Konstruktionstheile eines Balkenfachwerks:
15) [Formel 2]
oder wenn man die linken Seiten dieser Gleichungen unter die
Summenzeichen bringt:
16) [Formel 3]

Wenn die Längen aller Konstruktionstheile bei einer be-
liebigen aber für alle gleichen Temperatur t2 bekannt sind, so
können die Gleichungen 15) oder 16) benutzt werden, um die
Werthe der dem spannunglosen Zustande entsprechenden Tem-
peratur t0 zu bestimmen. Für die nothwendigen Konstruk-
tionstheile des Balkenfachwerks kann diese Temperatur will-
kürlich
also z. B.
t0 = t2
gewählt werden. Wenn alsdann die Länge l eines über-
zähligen
Konstruktionstheils bei der Temperatur t2 um das
Maß i größer oder kleiner ist als die durch Gleichung 15)
bedingte Länge, so ergibt sich die Temperatur t0 für diesen
Konstruktionstheil aus den Gleichungen:
17) i = l d (t2 -- t0) oder i = l d (t0 -- t2).


[Spaltenumbruch]

Eine Temperaturveränderung erzeugt in einem zusammen-
gesetzten Balkenfachwerk keine Spannungen, wenn der Werth
von d · t für alle Konstruktionstheile gleich groß ist; denn
in diesem Falle werden zufolge Gleichung 16) die ersten Glieder
der Gleichungen 14):
[Formel 4] und in Folge dessen erhalten die sämmtlichen Werthe von T
die Größe Null.

Beispiel 1. In Figur 4 auf Blatt 610 sind Form,
Dimensionen und Belastungen eines schmiedeeisernen Dach-
trägers angegeben. Dieses Balkenfachwerk enthält 7 Knoten-
punkte und 12 Konstruktionstheile, demnach nur einen über-
zähligen, als welcher der mit 1 bezeichnete Theil ausgewählt
worden ist. Statt dessen hätte auch jeder der anderen Kon-
struktionstheile, mit Ausnahme der Theile 3 und 9, gewählt
werden können. Auf die Form des Verfahrens und auf die
Endresultate hat diese Wahl selbstverständlich keinen Einfluß.
Die Konstruktion der Kräftepläne (Fig. 5 und Fig. 6), welche
die Größen von S und u1 enthalten, ist so einfach, daß eine
Erläuterung nicht nöthig erscheint. In der folgenden Tabelle
sind nun zunächst die gegebenen Werthe von l und F und
die hieraus ermittelten Werthe von r zusammengestellt; der
Elasticitätsmodul des Schmiedeeisens ist hier, wie in den fol-
genden Beispielen gleich 2000000 Kilogramm angenommen.
Die beiden folgenden Vertikalreihen enthalten die aus den
Kräfteplänen entnommenen Werthe S und u1. Hiernach sind
vermittelst einer Rechenscheibe die Werthe von u1 · S · r und
u12 · r berechnet, in die Tabelle eingetragen und summirt.
Die erste der Gleichungen 9) nimmt demnach die Form an:
O = -- 14997 + 5,260 S1
woraus folgt:
S1 = + 2850 Kilogr.
Setzt man diesen Werth in die Gleichungen 5) ein, so ergeben
sich die in der letzten Vertikalreihe der Tabelle enthaltenen
Resultate. Diese Resultate werden in Wirklichkeit nicht zur
Geltung gelangen können, weil die Zugstange (6) bei einem
Querschnitt von nur 4,9 #Zentimeter außer der elastischen
Längenänderung höchst wahrscheinlich eine Biegung erleiden
wird, bevor die Druckspannung
S(6) = -- 1080 Kilogr.
zur Wirkung kommen kann. Es liegt daher die Frage nahe:
um welches Maß i muß die Länge der Zugstange 1 ver-
größert
werden, damit die Zugstange (6) in bestimmter
Weise zur Thätigkeit komme? Diese Frage läßt sich mit
Hülfe der Gleichungen 17) und 14) beantworten, indem man
für den spannunglosen Zustand des Trägers zwischen dem
Konstruktionstheil 1 und den übrigen Theilen eine Temperatur-
differenz t voraussetzt, welche der Gleichung
i = l1 · d · t
entspricht. Die erste der Gleichungen 14) ergibt alsdann:

*) Es verdient bei dieser Gelegenheit erwähnt zu werden, daß
einige in neuester Zeit zur Ausführung gekommene Balkenfachwerke
von der nachskizzirten Form (Fig. 14) nicht 2 m -- 3 Konstruktionstheile
sondern einen weniger erhalten haben. Bei der Bestimmung dieser
Anzahl dürfen selbstverständlich die sogenannten Gegendiagonalen in
der Mitte der Trägerlänge, welche in der Skizze daher fortgelassen
sind, nicht mitgezählt werden. Da ein solches Fachwerk, wenn es mit
scharnierförmigen Knotenpunkten versehen wäre, nicht tragfähig sein
würde, so müssen die Funktionen des fehlenden Konstruktionstheils in
nicht empfehlenswerther Weise von der Steifigkeit der Knotenpunkt-
verbindungen übernommen werden.
[Abbildung] Fig. 14.

Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
[Spaltenumbruch] Konſtruktionstheile *). Da die Stützen eines Balkenfach-
werks den Formveränderungen deſſelben kein Hinderniß ent-
gegenſetzen, ſo gehört zu den möglichen Formveränderungen
offenbar auch diejenige, bei welcher das Fachwerk ſeiner ur-
ſprünglichen Form ähnlich bleibt. Die Gleichungen 3) oder 4)
welche für alle Formänderungen gelten, ſind demnach auch dann
anwendbar, wenn das Verhältniß [Formel 1] für alle Konſtruktions-
theile denſelben Werth hat. Multiplicirt man die Gleichun-
gen 3) und 4) mit dieſem konſtanten Zahlenwerth, ſo ent-
ſtehen die Beziehungen zwiſchen den Längen l1, l2, l3 ....
der überzähligen und den Längen l(1), l(2), l(3) .... der
nothwendigen Konſtruktionstheile eines Balkenfachwerks:
15) [Formel 2]
oder wenn man die linken Seiten dieſer Gleichungen unter die
Summenzeichen bringt:
16) [Formel 3]

Wenn die Längen aller Konſtruktionstheile bei einer be-
liebigen aber für alle gleichen Temperatur t2 bekannt ſind, ſo
können die Gleichungen 15) oder 16) benutzt werden, um die
Werthe der dem ſpannungloſen Zuſtande entſprechenden Tem-
peratur t0 zu beſtimmen. Für die nothwendigen Konſtruk-
tionstheile des Balkenfachwerks kann dieſe Temperatur will-
kürlich
alſo z. B.
t0 = t2
gewählt werden. Wenn alsdann die Länge l eines über-
zähligen
Konſtruktionstheils bei der Temperatur t2 um das
Maß i größer oder kleiner iſt als die durch Gleichung 15)
bedingte Länge, ſo ergibt ſich die Temperatur t0 für dieſen
Konſtruktionstheil aus den Gleichungen:
17) i = l δ (t2t0) oder i = l δ (t0t2).


[Spaltenumbruch]

Eine Temperaturveränderung erzeugt in einem zuſammen-
geſetzten Balkenfachwerk keine Spannungen, wenn der Werth
von δ · t für alle Konſtruktionstheile gleich groß iſt; denn
in dieſem Falle werden zufolge Gleichung 16) die erſten Glieder
der Gleichungen 14):
[Formel 4] und in Folge deſſen erhalten die ſämmtlichen Werthe von T
die Größe Null.

Beiſpiel 1. In Figur 4 auf Blatt 610 ſind Form,
Dimenſionen und Belaſtungen eines ſchmiedeeiſernen Dach-
trägers angegeben. Dieſes Balkenfachwerk enthält 7 Knoten-
punkte und 12 Konſtruktionstheile, demnach nur einen über-
zähligen, als welcher der mit 1 bezeichnete Theil ausgewählt
worden iſt. Statt deſſen hätte auch jeder der anderen Kon-
ſtruktionstheile, mit Ausnahme der Theile 3 und 9, gewählt
werden können. Auf die Form des Verfahrens und auf die
Endreſultate hat dieſe Wahl ſelbſtverſtändlich keinen Einfluß.
Die Konſtruktion der Kräftepläne (Fig. 5 und Fig. 6), welche
die Größen von S und u1 enthalten, iſt ſo einfach, daß eine
Erläuterung nicht nöthig erſcheint. In der folgenden Tabelle
ſind nun zunächſt die gegebenen Werthe von l und F und
die hieraus ermittelten Werthe von r zuſammengeſtellt; der
Elaſticitätsmodul des Schmiedeeiſens iſt hier, wie in den fol-
genden Beiſpielen gleich 2000000 Kilogramm angenommen.
Die beiden folgenden Vertikalreihen enthalten die aus den
Kräfteplänen entnommenen Werthe S und u1. Hiernach ſind
vermittelſt einer Rechenſcheibe die Werthe von u1 · S · r und
u12 · r berechnet, in die Tabelle eingetragen und ſummirt.
Die erſte der Gleichungen 9) nimmt demnach die Form an:
O = — 14997 + 5,260 S1
woraus folgt:
S1 = + 2850 Kilogr.
Setzt man dieſen Werth in die Gleichungen 5) ein, ſo ergeben
ſich die in der letzten Vertikalreihe der Tabelle enthaltenen
Reſultate. Dieſe Reſultate werden in Wirklichkeit nicht zur
Geltung gelangen können, weil die Zugſtange (6) bei einem
Querſchnitt von nur 4,9 □Zentimeter außer der elaſtiſchen
Längenänderung höchſt wahrſcheinlich eine Biegung erleiden
wird, bevor die Druckſpannung
S(6) = — 1080 Kilogr.
zur Wirkung kommen kann. Es liegt daher die Frage nahe:
um welches Maß i muß die Länge der Zugſtange 1 ver-
größert
werden, damit die Zugſtange (6) in beſtimmter
Weiſe zur Thätigkeit komme? Dieſe Frage läßt ſich mit
Hülfe der Gleichungen 17) und 14) beantworten, indem man
für den ſpannungloſen Zuſtand des Trägers zwiſchen dem
Konſtruktionstheil 1 und den übrigen Theilen eine Temperatur-
differenz t vorausſetzt, welche der Gleichung
i = l1 · δ · t
entſpricht. Die erſte der Gleichungen 14) ergibt alsdann:

*) Es verdient bei dieſer Gelegenheit erwähnt zu werden, daß
einige in neueſter Zeit zur Ausführung gekommene Balkenfachwerke
von der nachſkizzirten Form (Fig. 14) nicht 2 m — 3 Konſtruktionstheile
ſondern einen weniger erhalten haben. Bei der Beſtimmung dieſer
Anzahl dürfen ſelbſtverſtändlich die ſogenannten Gegendiagonalen in
der Mitte der Trägerlänge, welche in der Skizze daher fortgelaſſen
ſind, nicht mitgezählt werden. Da ein ſolches Fachwerk, wenn es mit
ſcharnierförmigen Knotenpunkten verſehen wäre, nicht tragfähig ſein
würde, ſo müſſen die Funktionen des fehlenden Konſtruktionstheils in
nicht empfehlenswerther Weiſe von der Steifigkeit der Knotenpunkt-
verbindungen übernommen werden.
[Abbildung] Fig. 14.
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[0016] Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Konſtruktionstheile *). Da die Stützen eines Balkenfach- werks den Formveränderungen deſſelben kein Hinderniß ent- gegenſetzen, ſo gehört zu den möglichen Formveränderungen offenbar auch diejenige, bei welcher das Fachwerk ſeiner ur- ſprünglichen Form ähnlich bleibt. Die Gleichungen 3) oder 4) welche für alle Formänderungen gelten, ſind demnach auch dann anwendbar, wenn das Verhältniß [FORMEL] für alle Konſtruktions- theile denſelben Werth hat. Multiplicirt man die Gleichun- gen 3) und 4) mit dieſem konſtanten Zahlenwerth, ſo ent- ſtehen die Beziehungen zwiſchen den Längen l1, l2, l3 .... der überzähligen und den Längen l(1), l(2), l(3) .... der nothwendigen Konſtruktionstheile eines Balkenfachwerks: 15) [FORMEL] oder wenn man die linken Seiten dieſer Gleichungen unter die Summenzeichen bringt: 16) [FORMEL] Wenn die Längen aller Konſtruktionstheile bei einer be- liebigen aber für alle gleichen Temperatur t2 bekannt ſind, ſo können die Gleichungen 15) oder 16) benutzt werden, um die Werthe der dem ſpannungloſen Zuſtande entſprechenden Tem- peratur t0 zu beſtimmen. Für die nothwendigen Konſtruk- tionstheile des Balkenfachwerks kann dieſe Temperatur will- kürlich alſo z. B. t0 = t2 gewählt werden. Wenn alsdann die Länge l eines über- zähligen Konſtruktionstheils bei der Temperatur t2 um das Maß i größer oder kleiner iſt als die durch Gleichung 15) bedingte Länge, ſo ergibt ſich die Temperatur t0 für dieſen Konſtruktionstheil aus den Gleichungen: 17) i = l δ (t2 — t0) oder i = l δ (t0 — t2). Eine Temperaturveränderung erzeugt in einem zuſammen- geſetzten Balkenfachwerk keine Spannungen, wenn der Werth von δ · t für alle Konſtruktionstheile gleich groß iſt; denn in dieſem Falle werden zufolge Gleichung 16) die erſten Glieder der Gleichungen 14): [FORMEL] und in Folge deſſen erhalten die ſämmtlichen Werthe von T die Größe Null. Beiſpiel 1. In Figur 4 auf Blatt 610 ſind Form, Dimenſionen und Belaſtungen eines ſchmiedeeiſernen Dach- trägers angegeben. Dieſes Balkenfachwerk enthält 7 Knoten- punkte und 12 Konſtruktionstheile, demnach nur einen über- zähligen, als welcher der mit 1 bezeichnete Theil ausgewählt worden iſt. Statt deſſen hätte auch jeder der anderen Kon- ſtruktionstheile, mit Ausnahme der Theile 3 und 9, gewählt werden können. Auf die Form des Verfahrens und auf die Endreſultate hat dieſe Wahl ſelbſtverſtändlich keinen Einfluß. Die Konſtruktion der Kräftepläne (Fig. 5 und Fig. 6), welche die Größen von S und u1 enthalten, iſt ſo einfach, daß eine Erläuterung nicht nöthig erſcheint. In der folgenden Tabelle ſind nun zunächſt die gegebenen Werthe von l und F und die hieraus ermittelten Werthe von r zuſammengeſtellt; der Elaſticitätsmodul des Schmiedeeiſens iſt hier, wie in den fol- genden Beiſpielen gleich 2000000 Kilogramm angenommen. Die beiden folgenden Vertikalreihen enthalten die aus den Kräfteplänen entnommenen Werthe S und u1. Hiernach ſind vermittelſt einer Rechenſcheibe die Werthe von u1 · S · r und u12 · r berechnet, in die Tabelle eingetragen und ſummirt. Die erſte der Gleichungen 9) nimmt demnach die Form an: O = — 14997 + 5,260 S1 woraus folgt: S1 = + 2850 Kilogr. Setzt man dieſen Werth in die Gleichungen 5) ein, ſo ergeben ſich die in der letzten Vertikalreihe der Tabelle enthaltenen Reſultate. Dieſe Reſultate werden in Wirklichkeit nicht zur Geltung gelangen können, weil die Zugſtange (6) bei einem Querſchnitt von nur 4,9 □Zentimeter außer der elaſtiſchen Längenänderung höchſt wahrſcheinlich eine Biegung erleiden wird, bevor die Druckſpannung S(6) = — 1080 Kilogr. zur Wirkung kommen kann. Es liegt daher die Frage nahe: um welches Maß i muß die Länge der Zugſtange 1 ver- größert werden, damit die Zugſtange (6) in beſtimmter Weiſe zur Thätigkeit komme? Dieſe Frage läßt ſich mit Hülfe der Gleichungen 17) und 14) beantworten, indem man für den ſpannungloſen Zuſtand des Trägers zwiſchen dem Konſtruktionstheil 1 und den übrigen Theilen eine Temperatur- differenz t vorausſetzt, welche der Gleichung i = l1 · δ · t entſpricht. Die erſte der Gleichungen 14) ergibt alsdann: *) Es verdient bei dieſer Gelegenheit erwähnt zu werden, daß einige in neueſter Zeit zur Ausführung gekommene Balkenfachwerke von der nachſkizzirten Form (Fig. 14) nicht 2 m — 3 Konſtruktionstheile ſondern einen weniger erhalten haben. Bei der Beſtimmung dieſer Anzahl dürfen ſelbſtverſtändlich die ſogenannten Gegendiagonalen in der Mitte der Trägerlänge, welche in der Skizze daher fortgelaſſen ſind, nicht mitgezählt werden. Da ein ſolches Fachwerk, wenn es mit ſcharnierförmigen Knotenpunkten verſehen wäre, nicht tragfähig ſein würde, ſo müſſen die Funktionen des fehlenden Konſtruktionstheils in nicht empfehlenswerther Weiſe von der Steifigkeit der Knotenpunkt- verbindungen übernommen werden. [Abbildung Fig. 14. ]

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. T. 1. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1874), Sp. 509-526, S. . In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/mohr_fachwerk01_1874/16>, abgerufen am 21.09.2019.