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Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. T. 1. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1874), Sp. 509-526.

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Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
[Spaltenumbruch] indem man nämlich die linke Seite der Gleichungen 3) mit
unter die Summenzeichen bringt und dabei beachtet, daß
die Spannung u in demjenigen überzähligen Konstruktionstheil,
auf welchen sich eine der Gleichungen 3) bezieht, jedes Mal
gleich + 1 ist.

Bestimmung der Spannungen in den Konstruktionstheilen eines
belasteten zusammengesetzten Fachwerks.

Die folgende Untersuchung geht von der Voraussetzung
aus, daß die zu bestimmenden Spannungen der Konstruktions-
theile allein von den gegebenen Belastungen der Knoten-
punkte erzeugt werden, daß also ein spannungloser Zustand
des Fachwerks eintritt, sobald die Belastungen entfernt werden.
Wenn aus jedem der p Konstruktionstheile ein Stück heraus-
geschnitten und dieses durch seine Spannung als äußere Kräfte
gegen die beiden Schnittstellen ersetzt wird, so entstehen m
Gleichgewichtssysteme von Kräften, welche in je einem der m
Knotenpunkte sich schneiden. Die Bedingungen des Gleich-
gewichts dieser m Systeme können durch 2 · m Gleichungen
ausgedrückt werden. Es ist unmöglich, statische Beziehungen,
welche in jenen 2 m Gleichungen nicht enthalten sind -- etwa
durch Zerlegung des Fachwerks in andere Gleichgewichts-
systeme -- aufzustellen, weil letztere immer aus einer Anzahl
jener m Systeme sich zusammensetzen lassen. Die Bedingun-
gen des Gleichgewichts der sämmtlichen äußeren Kräfte, also
der bekannten Belastungen und der unbekannten Auflager-
reaktionen, sind in jenen 2 · m Gleichungen ebenfalls enthalten,
weil durch Zusammenlegung sämmtlicher m Systeme das
Gleichgewichtssystem der äußeren Kräfte entsteht. Damit die
Ermittelung der Spannungen aus den gegebenen Belastungen
eine bestimmte statische Aufgabe sei, ist es demnach
nothwendig, daß die Summe aus der Anzahl der Konstruk-
tionstheile und der Anzahl der unbekannten Größen im Sy-
stem der äußeren Kräfte 2 · m betrage. Jedes der n festen
Auflager ergibt aber für das Gleichgewichtssystem der äußeren
Kräfte zwei Unbekannte, nämlich die Größe und die Rich-
tung
der Auflagerreaktion, während bei jedem der o beweg-
lichen Auflager die Richtung der Auflagerreaktion bekannt und
nur die Größe derselben unbekannt ist. Von jenen 2 · m
Gleichungen bleiben sonach (2 m -- 2 n -- o) übrig zur Be-
stimmung der Spannungen einer eben so großen Anzahl von
Konstruktionstheilen. Die vorstehende Betrachtung bestätigt
die bekannte Thatsache, daß nur ein einfaches Fachwerk
auf statischem Wege sich berechnen läßt.

Wir bezeichnen nun:
mit S die unbekannten Spannungen in den Konstruktions-
theilen des zusammengesetzten Fachwerks,
mit S diejenigen Spannungen, welche durch die gegebenen
Belastungen in dem von den (2 m -- 2 n -- o) noth-
wendigen
Konstruktionstheilen gebildeten einfachen
[Spaltenumbruch] Fachwerk hervorgerufen werden; diese Spannungen lassen
sich auf statischem Wege vermittelst graphischer Methoden
oder durch Rechnung bestimmen;
mit u1, u2, u3 .... die bereits in den Gleichungen 3) und 4)
benutzten Zahlengrößen; u2(3) bezeichnet also z. B. die-
jenige Spannung, welche in dem Konstruktionstheil (3)
des oben genannten einfachen Fachwerks entsteht, wenn
man in dieses Fachwerk den überzähligen Konstruktions-
theil 2 einfügt und mit einer Zugspannung gleich Eins
anspannt. Die Zahlen u sind ebenfalls auf statischem
Wege zu bestimmen.

Man ändert offenbar nichts an dem Gleichgewichtszustande
des Fachwerks, wenn man aus jedem der überzähligen
Konstruktionstheile 1, 2, 3 .... ein Stück herausschneidet
und dieses in bekannter Weise durch zwei Außenkräfte S1, S2,
S3 .... ersetzt (Fig. 3). Auf das von den nothwendigen
Konstruktionstheilen gebildete einfache Fachwerk wirken als-

[Abbildung] Fig. 3.
dann außer den Belastungen und Auflagerdrücken, welche die
Spannungen S erzeugen, noch die Außenkräfte S1, S2, S3 ...,
durch welche die Spannungen u1 · S1, u2 · S2, u3 · S3 ....
hervorgerufen werden. Nach einer bekannten Eigenschaft des
einfachen Fachwerks ist die Spannung eines Konstruktions-
theils gleich der algebraischen Summe derjenigen Spannungen,
welche von den einzelnen auf das Fachwerk einwirkenden
Außenkräften in diesem Theil erzeugt werden. Wenn sonach
die Spannungen S1, S2, S3 ... der überzähligen Kon-
struktionstheile bekannt sind, so ergeben sich die Spannungen
der nothwendigen Konstruktionstheile durch die Gleichungen:
5) [Formel 1]
also durch Gleichungen von der allgemeinen Form:
6) S = S + u1 S1 + u2 S2 + u3 S3 + ....
Wenn, wie hier vorausgesetzt wird, die Spannungen inner-
halb der Elasticitätsgrenzen bleiben, so kann man die Län-
genänderung
eines Konstruktionstheils durch die Gleichung:
7) [Formel 2]

Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
[Spaltenumbruch] indem man nämlich die linke Seite der Gleichungen 3) mit
unter die Summenzeichen bringt und dabei beachtet, daß
die Spannung u in demjenigen überzähligen Konſtruktionstheil,
auf welchen ſich eine der Gleichungen 3) bezieht, jedes Mal
gleich + 1 iſt.

Beſtimmung der Spannungen in den Konſtruktionstheilen eines
belaſteten zuſammengeſetzten Fachwerks.

Die folgende Unterſuchung geht von der Vorausſetzung
aus, daß die zu beſtimmenden Spannungen der Konſtruktions-
theile allein von den gegebenen Belaſtungen der Knoten-
punkte erzeugt werden, daß alſo ein ſpannungloſer Zuſtand
des Fachwerks eintritt, ſobald die Belaſtungen entfernt werden.
Wenn aus jedem der p Konſtruktionstheile ein Stück heraus-
geſchnitten und dieſes durch ſeine Spannung als äußere Kräfte
gegen die beiden Schnittſtellen erſetzt wird, ſo entſtehen m
Gleichgewichtsſyſteme von Kräften, welche in je einem der m
Knotenpunkte ſich ſchneiden. Die Bedingungen des Gleich-
gewichts dieſer m Syſteme können durch 2 · m Gleichungen
ausgedrückt werden. Es iſt unmöglich, ſtatiſche Beziehungen,
welche in jenen 2 m Gleichungen nicht enthalten ſind — etwa
durch Zerlegung des Fachwerks in andere Gleichgewichts-
ſyſteme — aufzuſtellen, weil letztere immer aus einer Anzahl
jener m Syſteme ſich zuſammenſetzen laſſen. Die Bedingun-
gen des Gleichgewichts der ſämmtlichen äußeren Kräfte, alſo
der bekannten Belaſtungen und der unbekannten Auflager-
reaktionen, ſind in jenen 2 · m Gleichungen ebenfalls enthalten,
weil durch Zuſammenlegung ſämmtlicher m Syſteme das
Gleichgewichtsſyſtem der äußeren Kräfte entſteht. Damit die
Ermittelung der Spannungen aus den gegebenen Belaſtungen
eine beſtimmte ſtatiſche Aufgabe ſei, iſt es demnach
nothwendig, daß die Summe aus der Anzahl der Konſtruk-
tionstheile und der Anzahl der unbekannten Größen im Sy-
ſtem der äußeren Kräfte 2 · m betrage. Jedes der n feſten
Auflager ergibt aber für das Gleichgewichtsſyſtem der äußeren
Kräfte zwei Unbekannte, nämlich die Größe und die Rich-
tung
der Auflagerreaktion, während bei jedem der o beweg-
lichen Auflager die Richtung der Auflagerreaktion bekannt und
nur die Größe derſelben unbekannt iſt. Von jenen 2 · m
Gleichungen bleiben ſonach (2 m — 2 no) übrig zur Be-
ſtimmung der Spannungen einer eben ſo großen Anzahl von
Konſtruktionstheilen. Die vorſtehende Betrachtung beſtätigt
die bekannte Thatſache, daß nur ein einfaches Fachwerk
auf ſtatiſchem Wege ſich berechnen läßt.

Wir bezeichnen nun:
mit S die unbekannten Spannungen in den Konſtruktions-
theilen des zuſammengeſetzten Fachwerks,
mit S diejenigen Spannungen, welche durch die gegebenen
Belaſtungen in dem von den (2 m — 2 no) noth-
wendigen
Konſtruktionstheilen gebildeten einfachen
[Spaltenumbruch] Fachwerk hervorgerufen werden; dieſe Spannungen laſſen
ſich auf ſtatiſchem Wege vermittelſt graphiſcher Methoden
oder durch Rechnung beſtimmen;
mit u1, u2, u3 .... die bereits in den Gleichungen 3) und 4)
benutzten Zahlengrößen; u2(3) bezeichnet alſo z. B. die-
jenige Spannung, welche in dem Konſtruktionstheil (3)
des oben genannten einfachen Fachwerks entſteht, wenn
man in dieſes Fachwerk den überzähligen Konſtruktions-
theil 2 einfügt und mit einer Zugſpannung gleich Eins
anſpannt. Die Zahlen u ſind ebenfalls auf ſtatiſchem
Wege zu beſtimmen.

Man ändert offenbar nichts an dem Gleichgewichtszuſtande
des Fachwerks, wenn man aus jedem der überzähligen
Konſtruktionstheile 1, 2, 3 .... ein Stück herausſchneidet
und dieſes in bekannter Weiſe durch zwei Außenkräfte S1, S2,
S3 .... erſetzt (Fig. 3). Auf das von den nothwendigen
Konſtruktionstheilen gebildete einfache Fachwerk wirken als-

[Abbildung] Fig. 3.
dann außer den Belaſtungen und Auflagerdrücken, welche die
Spannungen S erzeugen, noch die Außenkräfte S1, S2, S3 …,
durch welche die Spannungen u1 · S1, u2 · S2, u3 · S3 ....
hervorgerufen werden. Nach einer bekannten Eigenſchaft des
einfachen Fachwerks iſt die Spannung eines Konſtruktions-
theils gleich der algebraiſchen Summe derjenigen Spannungen,
welche von den einzelnen auf das Fachwerk einwirkenden
Außenkräften in dieſem Theil erzeugt werden. Wenn ſonach
die Spannungen S1, S2, S3 … der überzähligen Kon-
ſtruktionstheile bekannt ſind, ſo ergeben ſich die Spannungen
der nothwendigen Konſtruktionstheile durch die Gleichungen:
5) [Formel 1]
alſo durch Gleichungen von der allgemeinen Form:
6) S = S + u1 S1 + u2 S2 + u3 S3 + ....
Wenn, wie hier vorausgeſetzt wird, die Spannungen inner-
halb der Elaſticitätsgrenzen bleiben, ſo kann man die Län-
genänderung
eines Konſtruktionstheils durch die Gleichung:
7) [Formel 2]

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[0014] Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. indem man nämlich die linke Seite der Gleichungen 3) mit unter die Summenzeichen bringt und dabei beachtet, daß die Spannung u in demjenigen überzähligen Konſtruktionstheil, auf welchen ſich eine der Gleichungen 3) bezieht, jedes Mal gleich + 1 iſt. Beſtimmung der Spannungen in den Konſtruktionstheilen eines belaſteten zuſammengeſetzten Fachwerks. Die folgende Unterſuchung geht von der Vorausſetzung aus, daß die zu beſtimmenden Spannungen der Konſtruktions- theile allein von den gegebenen Belaſtungen der Knoten- punkte erzeugt werden, daß alſo ein ſpannungloſer Zuſtand des Fachwerks eintritt, ſobald die Belaſtungen entfernt werden. Wenn aus jedem der p Konſtruktionstheile ein Stück heraus- geſchnitten und dieſes durch ſeine Spannung als äußere Kräfte gegen die beiden Schnittſtellen erſetzt wird, ſo entſtehen m Gleichgewichtsſyſteme von Kräften, welche in je einem der m Knotenpunkte ſich ſchneiden. Die Bedingungen des Gleich- gewichts dieſer m Syſteme können durch 2 · m Gleichungen ausgedrückt werden. Es iſt unmöglich, ſtatiſche Beziehungen, welche in jenen 2 m Gleichungen nicht enthalten ſind — etwa durch Zerlegung des Fachwerks in andere Gleichgewichts- ſyſteme — aufzuſtellen, weil letztere immer aus einer Anzahl jener m Syſteme ſich zuſammenſetzen laſſen. Die Bedingun- gen des Gleichgewichts der ſämmtlichen äußeren Kräfte, alſo der bekannten Belaſtungen und der unbekannten Auflager- reaktionen, ſind in jenen 2 · m Gleichungen ebenfalls enthalten, weil durch Zuſammenlegung ſämmtlicher m Syſteme das Gleichgewichtsſyſtem der äußeren Kräfte entſteht. Damit die Ermittelung der Spannungen aus den gegebenen Belaſtungen eine beſtimmte ſtatiſche Aufgabe ſei, iſt es demnach nothwendig, daß die Summe aus der Anzahl der Konſtruk- tionstheile und der Anzahl der unbekannten Größen im Sy- ſtem der äußeren Kräfte 2 · m betrage. Jedes der n feſten Auflager ergibt aber für das Gleichgewichtsſyſtem der äußeren Kräfte zwei Unbekannte, nämlich die Größe und die Rich- tung der Auflagerreaktion, während bei jedem der o beweg- lichen Auflager die Richtung der Auflagerreaktion bekannt und nur die Größe derſelben unbekannt iſt. Von jenen 2 · m Gleichungen bleiben ſonach (2 m — 2 n — o) übrig zur Be- ſtimmung der Spannungen einer eben ſo großen Anzahl von Konſtruktionstheilen. Die vorſtehende Betrachtung beſtätigt die bekannte Thatſache, daß nur ein einfaches Fachwerk auf ſtatiſchem Wege ſich berechnen läßt. Wir bezeichnen nun: mit S die unbekannten Spannungen in den Konſtruktions- theilen des zuſammengeſetzten Fachwerks, mit S diejenigen Spannungen, welche durch die gegebenen Belaſtungen in dem von den (2 m — 2 n — o) noth- wendigen Konſtruktionstheilen gebildeten einfachen Fachwerk hervorgerufen werden; dieſe Spannungen laſſen ſich auf ſtatiſchem Wege vermittelſt graphiſcher Methoden oder durch Rechnung beſtimmen; mit u1, u2, u3 .... die bereits in den Gleichungen 3) und 4) benutzten Zahlengrößen; u2(3) bezeichnet alſo z. B. die- jenige Spannung, welche in dem Konſtruktionstheil (3) des oben genannten einfachen Fachwerks entſteht, wenn man in dieſes Fachwerk den überzähligen Konſtruktions- theil 2 einfügt und mit einer Zugſpannung gleich Eins anſpannt. Die Zahlen u ſind ebenfalls auf ſtatiſchem Wege zu beſtimmen. Man ändert offenbar nichts an dem Gleichgewichtszuſtande des Fachwerks, wenn man aus jedem der überzähligen Konſtruktionstheile 1, 2, 3 .... ein Stück herausſchneidet und dieſes in bekannter Weiſe durch zwei Außenkräfte S1, S2, S3 .... erſetzt (Fig. 3). Auf das von den nothwendigen Konſtruktionstheilen gebildete einfache Fachwerk wirken als- [Abbildung Fig. 3. ] dann außer den Belaſtungen und Auflagerdrücken, welche die Spannungen S erzeugen, noch die Außenkräfte S1, S2, S3 …, durch welche die Spannungen u1 · S1, u2 · S2, u3 · S3 .... hervorgerufen werden. Nach einer bekannten Eigenſchaft des einfachen Fachwerks iſt die Spannung eines Konſtruktions- theils gleich der algebraiſchen Summe derjenigen Spannungen, welche von den einzelnen auf das Fachwerk einwirkenden Außenkräften in dieſem Theil erzeugt werden. Wenn ſonach die Spannungen S1, S2, S3 … der überzähligen Kon- ſtruktionstheile bekannt ſind, ſo ergeben ſich die Spannungen der nothwendigen Konſtruktionstheile durch die Gleichungen: 5) [FORMEL] alſo durch Gleichungen von der allgemeinen Form: 6) S = S + u1 S1 + u2 S2 + u3 S3 + .... Wenn, wie hier vorausgeſetzt wird, die Spannungen inner- halb der Elaſticitätsgrenzen bleiben, ſo kann man die Län- genänderung eines Konſtruktionstheils durch die Gleichung: 7) [FORMEL]

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. T. 1. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1874), Sp. 509-526, S. . In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/mohr_fachwerk01_1874/14>, abgerufen am 16.09.2019.