Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

jedes dieser Vorkommnisse für sich betrachten, worauf es eine nützliche Uebung sein wird, sich in einzelnen Fällen das Resultat der Ueberlagerung deutlich zu machen.

Sei $z = z_0$ zuvörderst ein logarithmischer Unendlichkeitspunct. Wir haben dann:
$w = \log{(z - z_0)} + C_0 + C_1(z - z_0) + C_2(z - z_0)^2 + \dotsb$

Hier ist A diejenige Grösse, welche man, mit $2i\pi$ multiplicirt, nach Cauchy als Residuum des logarithmischen Unendlichkeitspunctes bezeichnet, eine Benennung, die im Folgenden gelegentlich angewandt werden soll. Für die Strömung in der Nähe des Unstetigkeitspunctes ist es von primärer Wichtigkeit, ob A reell ist oder rein imaginär, oder endlich complex. Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung der beiden ersten auffassen. Wir wollen daher auch ihn bei Seite lassen und haben uns somit nur mit zwei getrennten Möglichkeiten zu beschäftigen.

1) Wenn A reell ist, so werde $C_0 = a + ib$ gesetzt. Man hat dann in erster Annäherung für $w = u + iv$, $z-z_0 = re^{i\varphi}$:

$u = A \cdot \log{r + a},\qquad v = A\varphi + b.$

Die Curven $u =$ Const. umgeben also den Unendlichkeitspunct in Gestalt kleiner Kreise; die Curven $v =$ Const. laufen, den wechselnden Werthen von $\varphi$ entsprechend, in allen Richtungen auf den Unendlichkeitspunct zu. Wir haben eine Bewegung, bei welcher $z = z_0$ eine Quelle von einer gewissen positiven oder negativen Ergiebigkeit vorstellt. Um diese Ergiebigkeit zu berechnen, multipliciren wir das Bogenelement eines kleinen mit dem Radius r um den Unstetigkeitspunct beschriebenen Kreises mit der zugehörigen Geschwindigkeit und integriren den so gewonnenen Ausdruck längs der Kreisperipherie. Da $\sqrt{\left(\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}\right)^2}$ in erster Annäherung mit $\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}$ und dieses mit $\dfrac Ar$ zusammenfällt, so kommt:

$\int_0^{2\pi} \frac Ar \cdot r\,d\varphi = 2\, A\pi$
als Werth der Ergiebigkeit. Die Ergiebigkeit ist also gleich dem Residuum, getheilt durch i; sie ist positiv oder negativ je nach dem Werthe von A.