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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Die Gesammtheit der Punctepaare des Kegelschnitts lässt
sich aber auf die Gesammtheit der Geraden der Ebene be-
ziehen, indem man jede Gerade dem Punctepaare zuordnet,
in welchem sie den Kegelschnitt trifft. Bei dieser Abbild-
ung gehen die linearen Transformationen des Kegelschnitts
in sich selbst in die linearen Transformationen der (aus
Geraden bestehend gedachten) Ebene über, welche den
Kegelschnitt ungeändert lassen. Ob wir aber die aus den
letzteren bestehende Gruppe betrachten, oder die Gesammt-
heit der linearen Transformationen der Ebene zu Grunde
legen und den zu untersuchenden Gebilden der Ebene den
Kegelschnitt allemal hinzufügen, ist nach §. 2 gleichbedeu-
tend. Indem wir alle diese Ueberlegungen zusammen neh-
men, haben wir:

Die Theorie der binären Formen und die pro-
jectivische Geometrie der Ebene unter Zugrunde-
legung eines Kegelschnittes sind gleichbedeu-
tend.

Da endlich projectivische Geometrie der Ebene unter
Zugrundelegung eines Kegelschnittes eben wegen der Gleich-
heit der Gruppe mit der projectivischen Massgeometrie coin-
cidirt, die man in der Ebene auf einen Kegelschnitt grün-
den kann 1), so mögen wir auch so sagen:

Die Theorie der binären Formen und die all-
gemeine projectivische Massgeometrie in der
Ebene sind dasselbe.

Statt des Kegelschnitts in der Ebene können wir in
der vorstehenden Betrachtung die Curve dritter Ordnung
im Raume setzen etc., doch mag dies unausgeführt bleiben.
Der hier dargelegte Zusammenhang zwischen der Geometrie
der Ebene, weiterhin des Raumes oder einer beliebig aus-
gedehnten Mannigfaltigkeit deckt sich im Wesentlichen mit
dem von Hesse vorgeschlagenen Uebertragungsprincipe
(Borchardt's Journal Bd. 66).

Ein Beispiel ganz ähnlicher Art ergibt die projectivische
Geometrie des Raumes, oder, anders ausgedrückt, die Theo-

1) Vergl. Note V.
2

Die Gesammtheit der Punctepaare des Kegelschnitts lässt
sich aber auf die Gesammtheit der Geraden der Ebene be-
ziehen, indem man jede Gerade dem Punctepaare zuordnet,
in welchem sie den Kegelschnitt trifft. Bei dieser Abbild-
ung gehen die linearen Transformationen des Kegelschnitts
in sich selbst in die linearen Transformationen der (aus
Geraden bestehend gedachten) Ebene über, welche den
Kegelschnitt ungeändert lassen. Ob wir aber die aus den
letzteren bestehende Gruppe betrachten, oder die Gesammt-
heit der linearen Transformationen der Ebene zu Grunde
legen und den zu untersuchenden Gebilden der Ebene den
Kegelschnitt allemal hinzufügen, ist nach §. 2 gleichbedeu-
tend. Indem wir alle diese Ueberlegungen zusammen neh-
men, haben wir:

Die Theorie der binären Formen und die pro-
jectivische Geometrie der Ebene unter Zugrunde-
legung eines Kegelschnittes sind gleichbedeu-
tend.

Da endlich projectivische Geometrie der Ebene unter
Zugrundelegung eines Kegelschnittes eben wegen der Gleich-
heit der Gruppe mit der projectivischen Massgeometrie coïn-
cidirt, die man in der Ebene auf einen Kegelschnitt grün-
den kann 1), so mögen wir auch so sagen:

Die Theorie der binären Formen und die all-
gemeine projectivische Massgeometrie in der
Ebene sind dasselbe.

Statt des Kegelschnitts in der Ebene können wir in
der vorstehenden Betrachtung die Curve dritter Ordnung
im Raume setzen etc., doch mag dies unausgeführt bleiben.
Der hier dargelegte Zusammenhang zwischen der Geometrie
der Ebene, weiterhin des Raumes oder einer beliebig aus-
gedehnten Mannigfaltigkeit deckt sich im Wesentlichen mit
dem von Hesse vorgeschlagenen Uebertragungsprincipe
(Borchardt’s Journal Bd. 66).

Ein Beispiel ganz ähnlicher Art ergibt die projectivische
Geometrie des Raumes, oder, anders ausgedrückt, die Theo-

1) Vergl. Note V.
2
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[17/0025] Die Gesammtheit der Punctepaare des Kegelschnitts lässt sich aber auf die Gesammtheit der Geraden der Ebene be- ziehen, indem man jede Gerade dem Punctepaare zuordnet, in welchem sie den Kegelschnitt trifft. Bei dieser Abbild- ung gehen die linearen Transformationen des Kegelschnitts in sich selbst in die linearen Transformationen der (aus Geraden bestehend gedachten) Ebene über, welche den Kegelschnitt ungeändert lassen. Ob wir aber die aus den letzteren bestehende Gruppe betrachten, oder die Gesammt- heit der linearen Transformationen der Ebene zu Grunde legen und den zu untersuchenden Gebilden der Ebene den Kegelschnitt allemal hinzufügen, ist nach §. 2 gleichbedeu- tend. Indem wir alle diese Ueberlegungen zusammen neh- men, haben wir: Die Theorie der binären Formen und die pro- jectivische Geometrie der Ebene unter Zugrunde- legung eines Kegelschnittes sind gleichbedeu- tend. Da endlich projectivische Geometrie der Ebene unter Zugrundelegung eines Kegelschnittes eben wegen der Gleich- heit der Gruppe mit der projectivischen Massgeometrie coïn- cidirt, die man in der Ebene auf einen Kegelschnitt grün- den kann 1), so mögen wir auch so sagen: Die Theorie der binären Formen und die all- gemeine projectivische Massgeometrie in der Ebene sind dasselbe. Statt des Kegelschnitts in der Ebene können wir in der vorstehenden Betrachtung die Curve dritter Ordnung im Raume setzen etc., doch mag dies unausgeführt bleiben. Der hier dargelegte Zusammenhang zwischen der Geometrie der Ebene, weiterhin des Raumes oder einer beliebig aus- gedehnten Mannigfaltigkeit deckt sich im Wesentlichen mit dem von Hesse vorgeschlagenen Uebertragungsprincipe (Borchardt’s Journal Bd. 66). Ein Beispiel ganz ähnlicher Art ergibt die projectivische Geometrie des Raumes, oder, anders ausgedrückt, die Theo- 1) Vergl. Note V. 2

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 17. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/25>, abgerufen am 19.04.2024.