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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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zeigt nun ohne Weiteres: Die linearen Transformationen
der Ebene, welche die beiden Fundamentalpuncte dersel-
ben ungeändert lassen, gehen durch die Abbildung in
lineare Transformationen der Fläche zweiten Grades in
sich selbst über, aber nur in diejenigen, welche den Pro-
jectionspunct ungeändert lassen. Unter linearen Transfor-
mationen der Fläche in sich selbst sind dabei diejenigen
Aenderungen verstanden, welche die Fläche erfährt, wenn
man lineare Raumtransformationen ausführt, welche die
Fläche mit sich selbst zur Deckung bringen. Hiernach
wird also die projectivische Untersuchung einer Ebene un-
ter Zugrundelegung zweier Puncte und die projectivische
Untersuchung einer Fläche zweiten Grades unter Zugrunde-
legung eines Punctes identisch. Die erstere ist nun -- so-
fern man imaginäre Elemente mit in Betracht zieht --
nichts Anderes, als die Untersuchung der Ebene im Sinne
der elementaren Geometrie. Denn die Hauptgruppe der
ebenen Transformationen besteht eben in den linearen Um-
formungen, welche ein Punctepaar (die unendlich fernen
Kreispuncte) ungeändert lassen. Wir erhalten also schliess-
lich:

Die elementare Geometrie der Ebene und
die projectivische Untersuchung einer Fläche
zweiten Grades unter Hinzunahme eines ihrer
Puncte sind dasselbe.

Diese Beispiele liessen sich beliebig vervielfachen 1);
die beiden hier entwickelten sind gewählt worden, da wir
in der Folge noch Gelegenheit haben werden, auf dieselben
zurückzukommen.

1) Bez. anderer Beispiele, sowie namentlich der Erweiterungen auf
mehr Dimensionen, deren die angeführten fähig sind, verweise ich auf
bez. Auseinandersetzungen in einem Aufsatze von mir: Ueber Li-
niengeometrie und metrische Geometrie. Math. Annalen,
t. V, 2, sowie auf die sogleich noch zu nennenden Lie'schen Arbeiten.

zeigt nun ohne Weiteres: Die linearen Transformationen
der Ebene, welche die beiden Fundamentalpuncte dersel-
ben ungeändert lassen, gehen durch die Abbildung in
lineare Transformationen der Fläche zweiten Grades in
sich selbst über, aber nur in diejenigen, welche den Pro-
jectionspunct ungeändert lassen. Unter linearen Transfor-
mationen der Fläche in sich selbst sind dabei diejenigen
Aenderungen verstanden, welche die Fläche erfährt, wenn
man lineare Raumtransformationen ausführt, welche die
Fläche mit sich selbst zur Deckung bringen. Hiernach
wird also die projectivische Untersuchung einer Ebene un-
ter Zugrundelegung zweier Puncte und die projectivische
Untersuchung einer Fläche zweiten Grades unter Zugrunde-
legung eines Punctes identisch. Die erstere ist nun — so-
fern man imaginäre Elemente mit in Betracht zieht —
nichts Anderes, als die Untersuchung der Ebene im Sinne
der elementaren Geometrie. Denn die Hauptgruppe der
ebenen Transformationen besteht eben in den linearen Um-
formungen, welche ein Punctepaar (die unendlich fernen
Kreispuncte) ungeändert lassen. Wir erhalten also schliess-
lich:

Die elementare Geometrie der Ebene und
die projectivische Untersuchung einer Fläche
zweiten Grades unter Hinzunahme eines ihrer
Puncte sind dasselbe.

Diese Beispiele liessen sich beliebig vervielfachen 1);
die beiden hier entwickelten sind gewählt worden, da wir
in der Folge noch Gelegenheit haben werden, auf dieselben
zurückzukommen.

1) Bez. anderer Beispiele, sowie namentlich der Erweiterungen auf
mehr Dimensionen, deren die angeführten fähig sind, verweise ich auf
bez. Auseinandersetzungen in einem Aufsatze von mir: Ueber Li-
niengeometrie und metrische Geometrie. Math. Annalen,
t. V, 2, sowie auf die sogleich noch zu nennenden Lie’schen Arbeiten.
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[15/0023] zeigt nun ohne Weiteres: Die linearen Transformationen der Ebene, welche die beiden Fundamentalpuncte dersel- ben ungeändert lassen, gehen durch die Abbildung in lineare Transformationen der Fläche zweiten Grades in sich selbst über, aber nur in diejenigen, welche den Pro- jectionspunct ungeändert lassen. Unter linearen Transfor- mationen der Fläche in sich selbst sind dabei diejenigen Aenderungen verstanden, welche die Fläche erfährt, wenn man lineare Raumtransformationen ausführt, welche die Fläche mit sich selbst zur Deckung bringen. Hiernach wird also die projectivische Untersuchung einer Ebene un- ter Zugrundelegung zweier Puncte und die projectivische Untersuchung einer Fläche zweiten Grades unter Zugrunde- legung eines Punctes identisch. Die erstere ist nun — so- fern man imaginäre Elemente mit in Betracht zieht — nichts Anderes, als die Untersuchung der Ebene im Sinne der elementaren Geometrie. Denn die Hauptgruppe der ebenen Transformationen besteht eben in den linearen Um- formungen, welche ein Punctepaar (die unendlich fernen Kreispuncte) ungeändert lassen. Wir erhalten also schliess- lich: Die elementare Geometrie der Ebene und die projectivische Untersuchung einer Fläche zweiten Grades unter Hinzunahme eines ihrer Puncte sind dasselbe. Diese Beispiele liessen sich beliebig vervielfachen 1); die beiden hier entwickelten sind gewählt worden, da wir in der Folge noch Gelegenheit haben werden, auf dieselben zurückzukommen. 1) Bez. anderer Beispiele, sowie namentlich der Erweiterungen auf mehr Dimensionen, deren die angeführten fähig sind, verweise ich auf bez. Auseinandersetzungen in einem Aufsatze von mir: Ueber Li- niengeometrie und metrische Geometrie. Math. Annalen, t. V, 2, sowie auf die sogleich noch zu nennenden Lie’schen Arbeiten.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 15. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/23>, abgerufen am 16.04.2024.