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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Dies ist das allgemeine Problem, welches die gewöhn-
liche Geometrie nicht nur, sondern namentlich auch die
hier zu nennenden neueren geometrischen Methoden und
die verschiedenen Behandlungsweisen beliebig ausgedehnter
Mannigfaltigkeiten unter sich begreift. Was besonders
betont sein mag, ist die Willkürlichkeit, die hinsichtlich
der Wahl der zu adjungirenden Transformationsgruppe be-
steht, und die daraus fliessende und in diesem Sinne zu
verstehende gleiche Berechtigung aller sich unter die all-
gemeine Forderung subsumirenden Betrachtungsweisen.

§. 2.
Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst,
werden nach einander adjungirt. Die verschiedenen Typen geome-
trischer Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss.

Da die geometrischen Eigenschaften räumlicher Dinge
durch alle Transformationen der Hauptgruppe ungeändert
bleiben, so ist es an und für sich absurd, nach solchen
Eigenschaften derselben zu fragen, bei denen dies nur
gegenüber einem Theile dieser Transformationen der Fall
ist. Diese Fragestellung wird indess berechtigt, ob auch
nur formal, wenn wir die räumlichen Gebilde in ihrer
Beziehung zu fest gedachten Elementen untersuchen. Be-
trachten wir z. B., wie in der sphärischen Trigonometrie,
die räumlichen Dinge unter Auszeichnung eines Punctes.
Dann ist zunächst die Forderung: die unter Adjunction
der Hauptgruppe invarianten Eigenschaften nicht mehr der
räumlichen Dinge an sich sondern des von ihnen mit dem ge-
gebenen Puncte gebildeten System's zu entwickeln. Aber
dieser Forderung können wir die andere Form ertheilen:
Man untersuche die räumlichen Gebilde an sich hinsichtlich
solcher Eigenschaften, welche ungeändert bleiben durch
diejenigen Transformationen der Hauptgruppe, welche noch
stattfinden können, wenn wir den Punct fest halten. Mit
anderen Worten: Es ist dasselbe, ob wir die räumlichen
Gebilde im Sinne der Hauptgruppe untersuchen und ihnen
den gegebenen Punct hinzufügen, oder ob wir, ohne ihnen
irgend ein Gegebenes hinzuzufügen, die Hauptgruppe durch

Dies ist das allgemeine Problem, welches die gewöhn-
liche Geometrie nicht nur, sondern namentlich auch die
hier zu nennenden neueren geometrischen Methoden und
die verschiedenen Behandlungsweisen beliebig ausgedehnter
Mannigfaltigkeiten unter sich begreift. Was besonders
betont sein mag, ist die Willkürlichkeit, die hinsichtlich
der Wahl der zu adjungirenden Transformationsgruppe be-
steht, und die daraus fliessende und in diesem Sinne zu
verstehende gleiche Berechtigung aller sich unter die all-
gemeine Forderung subsumirenden Betrachtungsweisen.

§. 2.
Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst,
werden nach einander adjungirt. Die verschiedenen Typen geome-
trischer Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss.

Da die geometrischen Eigenschaften räumlicher Dinge
durch alle Transformationen der Hauptgruppe ungeändert
bleiben, so ist es an und für sich absurd, nach solchen
Eigenschaften derselben zu fragen, bei denen dies nur
gegenüber einem Theile dieser Transformationen der Fall
ist. Diese Fragestellung wird indess berechtigt, ob auch
nur formal, wenn wir die räumlichen Gebilde in ihrer
Beziehung zu fest gedachten Elementen untersuchen. Be-
trachten wir z. B., wie in der sphärischen Trigonometrie,
die räumlichen Dinge unter Auszeichnung eines Punctes.
Dann ist zunächst die Forderung: die unter Adjunction
der Hauptgruppe invarianten Eigenschaften nicht mehr der
räumlichen Dinge an sich sondern des von ihnen mit dem ge-
gebenen Puncte gebildeten System’s zu entwickeln. Aber
dieser Forderung können wir die andere Form ertheilen:
Man untersuche die räumlichen Gebilde an sich hinsichtlich
solcher Eigenschaften, welche ungeändert bleiben durch
diejenigen Transformationen der Hauptgruppe, welche noch
stattfinden können, wenn wir den Punct fest halten. Mit
anderen Worten: Es ist dasselbe, ob wir die räumlichen
Gebilde im Sinne der Hauptgruppe untersuchen und ihnen
den gegebenen Punct hinzufügen, oder ob wir, ohne ihnen
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[8/0016] Dies ist das allgemeine Problem, welches die gewöhn- liche Geometrie nicht nur, sondern namentlich auch die hier zu nennenden neueren geometrischen Methoden und die verschiedenen Behandlungsweisen beliebig ausgedehnter Mannigfaltigkeiten unter sich begreift. Was besonders betont sein mag, ist die Willkürlichkeit, die hinsichtlich der Wahl der zu adjungirenden Transformationsgruppe be- steht, und die daraus fliessende und in diesem Sinne zu verstehende gleiche Berechtigung aller sich unter die all- gemeine Forderung subsumirenden Betrachtungsweisen. §. 2. Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst, werden nach einander adjungirt. Die verschiedenen Typen geome- trischer Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss. Da die geometrischen Eigenschaften räumlicher Dinge durch alle Transformationen der Hauptgruppe ungeändert bleiben, so ist es an und für sich absurd, nach solchen Eigenschaften derselben zu fragen, bei denen dies nur gegenüber einem Theile dieser Transformationen der Fall ist. Diese Fragestellung wird indess berechtigt, ob auch nur formal, wenn wir die räumlichen Gebilde in ihrer Beziehung zu fest gedachten Elementen untersuchen. Be- trachten wir z. B., wie in der sphärischen Trigonometrie, die räumlichen Dinge unter Auszeichnung eines Punctes. Dann ist zunächst die Forderung: die unter Adjunction der Hauptgruppe invarianten Eigenschaften nicht mehr der räumlichen Dinge an sich sondern des von ihnen mit dem ge- gebenen Puncte gebildeten System’s zu entwickeln. Aber dieser Forderung können wir die andere Form ertheilen: Man untersuche die räumlichen Gebilde an sich hinsichtlich solcher Eigenschaften, welche ungeändert bleiben durch diejenigen Transformationen der Hauptgruppe, welche noch stattfinden können, wenn wir den Punct fest halten. Mit anderen Worten: Es ist dasselbe, ob wir die räumlichen Gebilde im Sinne der Hauptgruppe untersuchen und ihnen den gegebenen Punct hinzufügen, oder ob wir, ohne ihnen irgend ein Gegebenes hinzuzufügen, die Hauptgruppe durch

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 8. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/16>, abgerufen am 19.04.2024.