Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

und setzen wir wie bei der ersten Oeffnung in (29^k.)
$\int h_1d\omega = \tfrac{1}{2}C_1M_1$,
so wird in den von der Oeffnung entfernteren Stellen des inneren Raumes
$\Psi = C_1\cos(2\pi nt-\tau)+\tfrac{1}{2}kC_1M_1\sin(2\pi nt - \tau)$.
Dies muſs aber gleich werden dem früher festgesetzten Werthe von Ψ im
Innern der Kugel:
$\Psi = C\cos(2\pi nt)$.
Daraus folgt, daſs
$C_1[\cos \tau - \tfrac{1}{2}kM_1\sin\tau] = C$,
$\sin\tau + \tfrac{1}{2}kM_1\cos\tau = 0$.
Aus der zweiten Gleichung folgt, daſs τ sehr klein ist, und demgemäſs aus
der ersten, daſs mit Vernachlässigung kleiner Gröſsen
C = C₁.
Nun wird aus Gleichung (28^c.)
$\int\frac{d\Psi}{dn}d\omega = 2\pi\int hd\omega + 2\pi\int h_1d\omega = k^2CS$
oder
(31.) $\pi M(C-H)+\pi M_1C = k^2CS$,
dazu
$J = -\frac{k^3CS}{2\pi}$,
(31^a.) $\frac{H^2J^2}{C^2} = \frac{(\pi(M+M_1)-k^2S)^2}{\pi^2M^2} + \frac{k^3S}{2\pi}$.

Damit $\frac{H^2J^2}{C^2}$ ein Minimum werde, und die stärkste Resonanz ein-
trete, setzen wir
(31^b.) $\pi(M+M_1) = k^2S$,
durch welche Gleichung die Tonhöhe der stärksten Resonanz bestimmt ist,
wie es in (30.) für eine Oeffnung geschehen war. Diese Gleichung stimmt,
wenn die Oeffnungen geometrisch ähnlich sind, mit dem von Sondhauſs aus
den Versuchen abgeleiteten Gesetze. Sind beide Oeffnungen congruent, so
verhält sich die Schwingungszahl des Körpers zu der desselben Körpers mit
einer Oeffnung, wie $\sqrt{2}:1$. Der Ton ist also im ersten Falle um eine ver-
minderte Quinte höher als im zweiten Falle, was genau mit einigen Ver-
suchen von Sondhauſs ^*) übereinstimmt.

Heidelberg, im März 1859.

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*) Poggendorffs Annalen LXXXI S. 366.