Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Innerhalb der Röhre setzen wir dann
(16^a.) $\Phi = G\cos kx\cos(2\pi nt + \tau_{\prime\prime})$.
Dann ist Φ an der Oeffnung continuirlich und $\frac{d\Phi}{dx}$ innen und auſsen eben da
gleich Null. Innerhalb der Röhre können wir bei dieser Annahme $\frac{d\Phi}{dn} = 0$
setzen, indem wir die verschwindend kleinen Werthe, welche es am nicht
cylindrischen Theile der Röhre annimmt, vernachlässigen. Nur am ver-
schlossenen Ende ist $\frac{d\Phi}{dx}$ im Allgemeinen nicht gleich Null. Hier müssen wir
setzen:
$\frac{d\Phi}{dx}+\frac{d\Psi}{dx} = 0$
und das Geschwindigkeitspotential im ganzen Raume gleich Φ + Ψ, wo Ψ das
von uns früher bestimmte Bewegungspotential der ebenen Wellen in der Röhre,
die in den freien Raum übergehen, ist. Dadurch ist allen Bedingungen der
Aufgabe genügt. Wir haben also für x = — l
(16^b.) $-kG\sin kl\cos(2\pi nt+\tau_{\prime\prime}) = J\cos(2\pi nt + \tau)$.
also

(16^c.) $\tau_{\prime\prime} = \tau + \pi$,
$kG\sin kl = J = A\sqrt{\frac{\cos^2k(l+\alpha)}{\cos^2k\alpha}+\frac{k^4Q^2}{4\pi^2}\sin^2kl}$.

Das Minimum von A bei gleichen Werthen von G tritt offenbar ein, wenn
sin kl = 0; dann wird A = 0, und die Bewegung im freien Raume so, als
wäre die Mündung der Röhre gar nicht in der yz-Ebene vorhanden. Das
Maximum aber tritt ein, wenn cos k (l + α) = 0; dann wird
$A = kG \frac{2\pi}{k^2Q\cos k\alpha}$,
und wieder wird beim Maximum der Resonanz der Phasenunterschied von
einer Viertel-Undulation zwischen den erregenden Wellen und den erregten ein-
treten. Das Maximum der Resonanz in der an einem Ende geschlossenen
Röhre tritt also in beiden Fällen, sowohl wenn der Schall vom geschlossenen
als wenn er vom offenen Ende her der Luft der Röhre mitgetheilt wird, ein,
wenn die reducirte Länge der Röhre ein ungerades Vielfache der Viertel-
wellenlänge ist. Aus dem Reciprocitätsgesetz des Schalles, welches in (9^a.)
ausgesprochen ist, läſst sich nun dasselbe Gesetz auch für jede andere Lage
des tönenden Punktes ableiten. Es paſst auf unseren Fall direct die Form,
welche wir dem Gesetz in (9^c.) gegeben haben. Die dortige Constante A,