Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

den Stellen. Denn wo weder sin k(x — α) noch cos k(x — α) der Null nahe
sind, sind sowohl tang τ als tang τ͵ sehr kleine Gröſsen, und es wird also
nahehin
$\mathfrak{h} = L\sin(2\pi nt)$, $\frac{d\Psi}{dx} = J\cos(2\pi nt)$,
so daſs hier die Maxima des Druckes und der Geschwindigkeit nahehin um
eine Viertel-Undulationszeit auseinanderfallen.

Denkt man sich die ebenen Wellen bis zur Oeffnung der Röhre, wo
x = 0, fortgesetzt, so wird dort tang τ = 0, dagegen
$\operatorname{tang}\tau_\prime = -\frac{k^2Q}{2\pi}\operatorname{cotang}k\alpha$.
Nun ist im Allgemeinen tang kα eine kleine Gröſse erster Ordnung, k²Q eine
solche zweiter Ordnung, also tang τ͵ sehr klein und τ͵ nahe an Null. Aber es
kann auch für besondere Röhrenformen α = 0 werden, dann würde τ͵ = ½π.
Im ersteren Falle würden in der Oeffnung die Maxima der Geschwindigkeit
und der Verdichtung um eine Viertelundulation der Zeit nach aus einander
liegen, im zweiten Falle zusammenfallen. Poissons Voraussetzung, daſs die
Verdichtung in der Oeffnung gleich der Geschwindigkeit multiplicirt mit einer
sehr kleinen Constanten sei, ist also nur in einem besonderen Falle richtig,
den er allerdings als den allgemeinen betrachtete. Auch in diesem Falle ist
sie übrigens nur richtig, wenn man sich erlaubt, die ebenen Wellen bis zur
Mündung der Röhre fortgesetzt zu denken, aber nicht, wenn man die wirklich
in der Oeffnung stattfindenden mittleren Werthe der Geschwindigkeit und Ver-
dichtung nimmt.

Was die Lage der einzelnen Wellenphasen in einem gegebenen Augen-
blicke betrifft, so finden wir die Lage der Geschwindigkeitsmaxima in der
Region der ebenen Wellen, indem wir $\frac{d^2\Psi}{dx^2} = 0$ setzen, oder auch Ψ = 0,
da hier $\frac{d^2\Psi}{dx^2} + k^2\Psi = 0$. Also:
$0 = \frac{A}{k}\cos(2\pi nt)\sin kx + [B\cos(2\pi nt) + \mathfrak{B}\sin(2\pi nt)]\cos kx$;
daraus folgt als Bedingung (s. (12^f.) und (12^g.))
(14^b.) $\operatorname{tang}kx = \operatorname{tang}k\alpha+\frac{k^2Q}{2\pi}\operatorname{tang}(2\pi nt)$.
Wenn t = 0, wird
$\operatorname{tang}kx = \operatorname{tang}k\alpha$,
die Maxima der Geschwindigkeit liegen dann, wo — (x — α) = aλ, die Minima,

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