Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

(13^a.) $\frac{d\Psi}{dx} = J\cos(2\pi nt + \tau)$,
wenn
$J = A\sqrt{\frac{\cos^2k(x-\alpha)}{\cos^2k\alpha} + \frac{k^4Q^2}{4\pi^2}\sin^2kx}$,
$\operatorname{tang}\tau = -\frac{k^2Q\sin kx\cos k\alpha}{2\pi\cos k(x-\alpha)}$.

Die Werthe von x, für welche J² ein Maximum oder Minimum wird, werden
gefunden durch die Gleichung
(13^b.) $\operatorname{tang}2k(x-\alpha) = \frac{k^4Q^2\sin k\alpha\cos^2k\alpha}{2\pi^2\left(1-\frac{k^4Q^2}{4\pi^2}\cos^3k\alpha\right)}$.
Wenn x₀ ein Werth ist, der für x gesetzt diese Gleichung erfüllt, so wird
sie auch erfüllt durch
$x = x_0 +\mathfrak{a}\frac{\lambda}{4} = x_0 + \frac{\mathfrak{a}\pi}{2k}$,
worin a eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bezeichnet. Die
Maxima und Minima der Schwingung liegen also in der Röhre um Viertel-
wellenlängen von einander entfernt. Sie liegen aber nicht nothwendig um
ein genaues Vielfache einer Viertelwellenlänge von der Oeffnung der Röhre
entfernt. Wenn, wie wir im Folgenden immer annehmen wollen, k²Q eine
unendlich kleine Gröſse ist, so wird mit Vernachlässigung der kleinen Gröſsen
zweiter Ordnung die Gleichung (13^b.):
$\operatorname{tang}2k(x-\alpha) = 0$.
Dann wird J² ein Maximum $J^2_\prime$, wenn
$k(x-\alpha)=\mathfrak{a}\pi$, also $\cos k(x-\alpha)=\pm 1$,
$J^2_\prime = \frac{A^2}{\cos^2k\alpha}$,
und J² wird ein Minimum $J^2_{\prime\prime}$, wenn
$k(x-\alpha) = (\mathfrak{a} + \tfrac{1}{2})\pi$, also $\cos k(x-\alpha) = 0$,
$J^2_{\prime\prime} = A^2\frac{k^4Q^2}{4\pi^2}\cos^2k\alpha$.
Denken wir uns die ebenen Wellen bis zur Mündung der Röhre fortgesetzt, so würde
in der kleinen Entfernung α vor der Oeffnung ein Maximum der Schwingung lie-
gen. Denken wir uns die Entfernungen der Querschnitte der Röhre von diesem
um die Länge α vor der Oeffnung in der Axe der Röhre gelegenen Punkte ge-

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