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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
wo die Integration über alle Werthe von z und y auszudehnen ist, welche
der Oeffnung und Wand der Röhre angehören, und das + Zeichen sowohl
an der Oeffnung als an denjenigen Theilen der Wand zu nehmen ist, deren
Normale mit den negativen x einen spitzen Winkel bildet, das -- Zeichen
an den Theilen, deren Normale mit den positiven x einen spitzen Winkel
bildet. QB ist also gleich den Werthen von Ps' in der Nähe der Oeffnung
integrirt über eine Fläche von der Grösse Q, also ist B von der Grössen-
ordnung oder . Wenn also der Querschnitt der Röhre von derselben
Ordnung kleiner Grössen wie die Oeffnung, d. h. von der Ordnung e2 ist, ist
B von der Ordnung Ae. Genauer lässt sich bei der Allgemeinheit unserer
Annahmen das Verhältniss nicht bestimmen. Wir werden später bei den
Beispielen sehen, dass es von der Form der Mündung abhängt, von welcher
wir das Verhältniss unabhängig gefunden haben, und dass es nicht merklich
von dem Werthe von k abhängt, so lange der Querschnitt der Röhre und
die Länge des nicht cylindrischen Theiles als verschwindend gegen die Wellen-
länge zu betrachten sind. Ist übrigens die Oeffnung der Röhre sehr klein gegen
den Querschnitt, so kann jeden beliebigen grösseren Werth erreichen.



Innerhalb der tieferen Theile der Röhre ist also, wenn wir setzen
(12f.) ,
(12g.) ,
und dazu gehört die Bewegung in den entfernten Stellen des freien Raumes,
indem wir M1 gegen M vernachlässigen,
(12h.) ,
in welchen beiden Gleichungen A eine willkührliche Constante ist, und a für
jede besondere Röhrenform besonders bestimmt werden muss.

Die Natur des hier behandelten Problems wird noch klarer, wenn man
auf den Grenzfall übergeht, wo k = 0 wird. Dann werden die beiden Functio-
nen Ps' und Ps" von einander unabhängig, und es entstehen aus unserem
Problem folgende zwei Aufgaben:


Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
wo die Integration über alle Werthe von z und y auszudehnen ist, welche
der Oeffnung und Wand der Röhre angehören, und das + Zeichen sowohl
an der Oeffnung als an denjenigen Theilen der Wand zu nehmen ist, deren
Normale mit den negativen x einen spitzen Winkel bildet, das — Zeichen
an den Theilen, deren Normale mit den positiven x einen spitzen Winkel
bildet. QB ist also gleich den Werthen von Ψ' in der Nähe der Oeffnung
integrirt über eine Fläche von der Gröſse Q, also ist B von der Gröſsen-
ordnung oder . Wenn also der Querschnitt der Röhre von derselben
Ordnung kleiner Gröſsen wie die Oeffnung, d. h. von der Ordnung ε2 ist, ist
B von der Ordnung Aε. Genauer läſst sich bei der Allgemeinheit unserer
Annahmen das Verhältniſs nicht bestimmen. Wir werden später bei den
Beispielen sehen, daſs es von der Form der Mündung abhängt, von welcher
wir das Verhältniſs unabhängig gefunden haben, und daſs es nicht merklich
von dem Werthe von k abhängt, so lange der Querschnitt der Röhre und
die Länge des nicht cylindrischen Theiles als verschwindend gegen die Wellen-
länge zu betrachten sind. Ist übrigens die Oeffnung der Röhre sehr klein gegen
den Querschnitt, so kann jeden beliebigen gröſseren Werth erreichen.



Innerhalb der tieferen Theile der Röhre ist also, wenn wir setzen
(12f.) ,
(12g.) ,
und dazu gehört die Bewegung in den entfernten Stellen des freien Raumes,
indem wir M1 gegen M vernachlässigen,
(12h.) ,
in welchen beiden Gleichungen A eine willkührliche Constante ist, und α für
jede besondere Röhrenform besonders bestimmt werden muſs.

Die Natur des hier behandelten Problems wird noch klarer, wenn man
auf den Grenzfall übergeht, wo k = 0 wird. Dann werden die beiden Functio-
nen Ψ' und Ψ″ von einander unabhängig, und es entstehen aus unserem
Problem folgende zwei Aufgaben:


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[38/0048] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. wo die Integration über alle Werthe von z und y auszudehnen ist, welche der Oeffnung und Wand der Röhre angehören, und das + Zeichen sowohl an der Oeffnung als an denjenigen Theilen der Wand zu nehmen ist, deren Normale mit den negativen x einen spitzen Winkel bildet, das — Zeichen an den Theilen, deren Normale mit den positiven x einen spitzen Winkel bildet. QB ist also gleich den Werthen von Ψ' in der Nähe der Oeffnung integrirt über eine Fläche von der Gröſse Q, also ist B von der Gröſsen- ordnung [FORMEL] oder [FORMEL]. Wenn also der Querschnitt der Röhre von derselben Ordnung kleiner Gröſsen wie die Oeffnung, d. h. von der Ordnung ε2 ist, ist B von der Ordnung Aε. Genauer läſst sich bei der Allgemeinheit unserer Annahmen das Verhältniſs [FORMEL] nicht bestimmen. Wir werden später bei den Beispielen sehen, daſs es von der Form der Mündung abhängt, von welcher wir das Verhältniſs [FORMEL] unabhängig gefunden haben, und daſs es nicht merklich von dem Werthe von k abhängt, so lange der Querschnitt der Röhre und die Länge des nicht cylindrischen Theiles als verschwindend gegen die Wellen- länge zu betrachten sind. Ist übrigens die Oeffnung der Röhre sehr klein gegen den Querschnitt, so kann [FORMEL] jeden beliebigen gröſseren Werth erreichen. Innerhalb der tieferen Theile der Röhre ist also, wenn wir setzen (12f.) [FORMEL], (12g.) [FORMEL], und dazu gehört die Bewegung in den entfernten Stellen des freien Raumes, indem wir M1 gegen M vernachlässigen, (12h.) [FORMEL], in welchen beiden Gleichungen A eine willkührliche Constante ist, und α für jede besondere Röhrenform besonders bestimmt werden muſs. Die Natur des hier behandelten Problems wird noch klarer, wenn man auf den Grenzfall übergeht, wo k = 0 wird. Dann werden die beiden Functio- nen Ψ' und Ψ″ von einander unabhängig, und es entstehen aus unserem Problem folgende zwei Aufgaben:

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 38. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/48>, abgerufen am 19.09.2020.