Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

(12^a.) $0 = \int\frac{d\overline{\Psi''}}{dy}d\omega + k^2\int\Psi''x\cos\beta d\omega$,
(12^b.) $M = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega = -\frac{1}{2\pi}AQ$.
Für den Werth von M₁ ist zu bemerken, daſs das von k unabhängige Glied
desselben $\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}d\omega$ nach (11^a.) selbst eine verschwindend kleine Gröſse ist,
daſs ferner auch das mit der ersten Potenz von k multiplicirte $\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\epsilon d\omega$ der
Null gleich gemacht werden kann, wenn man den Anfangspunkt der Coor-
dinaten, über den bisher nur bestimmt ist, daſs er in der Oeffnung der Röhre
liegen solle, in den Schwerpunkt einer Masse verlegt, welche mit der Dich-
tigkeit $\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}$ über die Fläche der Oeffnung verbreitet ist, also reducirt sich der
Werth von M₁ auf verschwindend kleine Gröſsen, nämlich
(12^c.) $M_1 = \frac{k^2}{2\pi}\int\Psi'' x\cos\beta d\omega + \frac{k^2}{4\pi}\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\epsilon^2 d\omega$.
Wir werden also M₁ gegen M vernachlässigen und letzteres als unabhängig
von den Winkeln ω und ϑ betrachten dürfen, also aus (11^g.) erhalten
$A\mathfrak{B}Q = -2\pi kM^2$,
oder mit Berücksichtigung von
(12^b.) $AQ = -2\pi M$,
(12^d.) $\mathfrak{B} = kM = -\frac{k}{2\pi}AQ$,
endlich
(12^e.) $QB = \int\overline{\Psi'}d\omega - \int\Psi'\cos\beta d\omega$.
Da nun übrigens nach (11^e.) in der Ebene der Mündung mit Vernachlässigung
kleiner Gröſsen
$\overline{\Psi'}= -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{d\omega}{r}$
und
(12^b.) $M = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega = -\frac{1}{2\pi}AQ$,
so sind M oder AQ und $\epsilon\overline{\Psi'}$ Gröſsen von gleicher Ordnung. Nun können
wir die Gleichung (12^e.) schreiben
$QB = \pm\int\int\Psi'dy dz$,