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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Die erste Anwendung der Gleichung (7.) machen wir auf den inneren
Raum der Röhre, dieser von der Ebene der Mündung bis zu einer damit
parallelen Ebene genommen, welche in der Region der ebenen Wellen liegt.
Die Function Ph der Gleichung (7.) setzen wir hier:
.

Da sowohl Ph wie Ps die Gleichung (3b.) erfüllen innerhalb des hier betrach-
teten Raumes, so reducirt sich Gleichung (7.) auf
(7b.) .

Nun ist nur an der Mündung und in dem Querschnitte der Röhre von Null
verschieden, dort ist es gleich , hier gleich . Es wird also

.

Durch den Horizontalstrich oder sollen hier und fortan die Werthe
bezeichnet werden, welche die betreffenden Functionen in der Ebene der
Röhrenmündung haben. Mit Q ist die Grösse des Querschnitts des cylindri-
schen Theils der Röhre bezeichnet. Dagegen ist am cylindrischen Theile
der Röhrenwand und in der Oeffnung der Röhre gleich Null. Von Null ver-
schieden ist es nur in dem Querschnitte der Röhre, wo es den Werth --ksinkx
hat, und in dem nicht cylindrischen Theile der Röhrenwand. Nennt man den
Winkel, den die nach innen gerichtete Normale der Röhrenwand mit den po-
sitiven x bildet, b, so ist, da ,
.

Wir haben also



.

Wenn man diese Werthe der Integrale in die Gleichung (7b.) einführt, und

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Die erste Anwendung der Gleichung (7.) machen wir auf den inneren
Raum der Röhre, dieser von der Ebene der Mündung bis zu einer damit
parallelen Ebene genommen, welche in der Region der ebenen Wellen liegt.
Die Function Φ der Gleichung (7.) setzen wir hier:
.

Da sowohl Φ wie Ψ die Gleichung (3b.) erfüllen innerhalb des hier betrach-
teten Raumes, so reducirt sich Gleichung (7.) auf
(7b.) .

Nun ist nur an der Mündung und in dem Querschnitte der Röhre von Null
verschieden, dort ist es gleich , hier gleich . Es wird also

.

Durch den Horizontalstrich oder sollen hier und fortan die Werthe
bezeichnet werden, welche die betreffenden Functionen in der Ebene der
Röhrenmündung haben. Mit Q ist die Gröſse des Querschnitts des cylindri-
schen Theils der Röhre bezeichnet. Dagegen ist am cylindrischen Theile
der Röhrenwand und in der Oeffnung der Röhre gleich Null. Von Null ver-
schieden ist es nur in dem Querschnitte der Röhre, wo es den Werth —ksinkx
hat, und in dem nicht cylindrischen Theile der Röhrenwand. Nennt man den
Winkel, den die nach innen gerichtete Normale der Röhrenwand mit den po-
sitiven x bildet, β, so ist, da ,
.

Wir haben also



.

Wenn man diese Werthe der Integrale in die Gleichung (7b.) einführt, und

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[32/0042] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Die erste Anwendung der Gleichung (7.) machen wir auf den inneren Raum der Röhre, dieser von der Ebene der Mündung bis zu einer damit parallelen Ebene genommen, welche in der Region der ebenen Wellen liegt. Die Function Φ der Gleichung (7.) setzen wir hier: [FORMEL]. Da sowohl Φ wie Ψ die Gleichung (3b.) erfüllen innerhalb des hier betrach- teten Raumes, so reducirt sich Gleichung (7.) auf (7b.) [FORMEL]. Nun ist [FORMEL] nur an der Mündung und in dem Querschnitte der Röhre von Null verschieden, dort ist es gleich [FORMEL], hier gleich [FORMEL]. Es wird also [FORMEL] [FORMEL]. Durch den Horizontalstrich [FORMEL] oder [FORMEL] sollen hier und fortan die Werthe bezeichnet werden, welche die betreffenden Functionen in der Ebene der Röhrenmündung haben. Mit Q ist die Gröſse des Querschnitts des cylindri- schen Theils der Röhre bezeichnet. Dagegen ist [FORMEL] am cylindrischen Theile der Röhrenwand und in der Oeffnung der Röhre gleich Null. Von Null ver- schieden ist es nur in dem Querschnitte der Röhre, wo es den Werth —ksinkx hat, und in dem nicht cylindrischen Theile der Röhrenwand. Nennt man den Winkel, den die nach innen gerichtete Normale der Röhrenwand mit den po- sitiven x bildet, β, so ist, da [FORMEL], [FORMEL]. Wir haben also [FORMEL] [FORMEL] [FORMEL] [FORMEL]. Wenn man diese Werthe der Integrale in die Gleichung (7b.) einführt, und

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 32. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/42>, abgerufen am 30.09.2020.