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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
verschieden sei von der Form
.

Dies ist die allgemeinste Form, welche ebene Wellen, die einem einfachen
Tone von n Schwingungen angehören, haben können. Zur weiteren Verein-
fachung wollen wir gleich den Anfang der Zeit t so festsetzen, was offenbar
immer möglich ist, dass A = 0 wird, und somit Ps in dem besagten Abschnitte
der Röhre die Form erhält:
(10.) .

Auf Seite der positiven x denke man sich zwei halbe Kugelflächen von sehr
grossem Radius construirt, deren Mittelpunkt im Anfangspunkte der Coordinaten
liegt. Zwischen beiden soll Ps die Form kugeliger Wellen haben, die in den
unendlichen Raum hinauslaufen, nämlich, wenn wir wie früher die Entfernung
vom Anfang der Coordinaten mit r bezeichnen,
(10a.) ,
wo M und MI unabhängig von r, aber möglicher Weise abhängig von den
Winkeln sind, die r mit den Coordinatenaxen bildet.

Jenseits der äusseren jener beiden Kugelflächen mag noch ein Raum
liegen, wo die Schallbewegung erst beginnt, aber zwischen der Region der
ebenen Wellen in der Röhre, deren Bewegung in der Gleichung (10.) gegeben
ist, und der Region der Kugelwellen von der Form (10a.) soll die Stärke
und Phase der Luftschwingungen stationär geworden sein, also Ps hier überall
von der Form sein:
(10b.) ,
worin Ps' und Ps" Functionen der Coordinaten, aber unabhängig von der
Zeit sind und in diesem ganzen Theile des Luftraumes die Bedingung erfüllen:
(3b.) .

Endlich muss noch längs der ganzen Wand der Röhre und an dem Theile der
yz-Ebene, welcher nicht von der Röhrenmündung eingenommen ist, sein:
(10c.) .

Wir wollen nun die Beziehungen zwischen den Coefficienten A, B, B, M
und M1 der Gleichungen (10.) und (10a.) mittelst des erweiterten Greenschen
Theorems aufsuchen.


Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
verschieden sei von der Form
.

Dies ist die allgemeinste Form, welche ebene Wellen, die einem einfachen
Tone von n Schwingungen angehören, haben können. Zur weiteren Verein-
fachung wollen wir gleich den Anfang der Zeit t so festsetzen, was offenbar
immer möglich ist, daſs A = 0 wird, und somit Ψ in dem besagten Abschnitte
der Röhre die Form erhält:
(10.) .

Auf Seite der positiven x denke man sich zwei halbe Kugelflächen von sehr
groſsem Radius construirt, deren Mittelpunkt im Anfangspunkte der Coordinaten
liegt. Zwischen beiden soll Ψ die Form kugeliger Wellen haben, die in den
unendlichen Raum hinauslaufen, nämlich, wenn wir wie früher die Entfernung
vom Anfang der Coordinaten mit ϱ bezeichnen,
(10a.) ,
wo M und MI unabhängig von ϱ, aber möglicher Weise abhängig von den
Winkeln sind, die ϱ mit den Coordinatenaxen bildet.

Jenseits der äuſseren jener beiden Kugelflächen mag noch ein Raum
liegen, wo die Schallbewegung erst beginnt, aber zwischen der Region der
ebenen Wellen in der Röhre, deren Bewegung in der Gleichung (10.) gegeben
ist, und der Region der Kugelwellen von der Form (10a.) soll die Stärke
und Phase der Luftschwingungen stationär geworden sein, also Ψ hier überall
von der Form sein:
(10b.) ,
worin Ψ' und Ψ″ Functionen der Coordinaten, aber unabhängig von der
Zeit sind und in diesem ganzen Theile des Luftraumes die Bedingung erfüllen:
(3b.) .

Endlich muſs noch längs der ganzen Wand der Röhre und an dem Theile der
yz-Ebene, welcher nicht von der Röhrenmündung eingenommen ist, sein:
(10c.) .

Wir wollen nun die Beziehungen zwischen den Coefficienten A, B, B, M
und M1 der Gleichungen (10.) und (10a.) mittelst des erweiterten Greenschen
Theorems aufsuchen.


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[31/0041] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. verschieden sei von der Form [FORMEL]. Dies ist die allgemeinste Form, welche ebene Wellen, die einem einfachen Tone von n Schwingungen angehören, haben können. Zur weiteren Verein- fachung wollen wir gleich den Anfang der Zeit t so festsetzen, was offenbar immer möglich ist, daſs A = 0 wird, und somit Ψ in dem besagten Abschnitte der Röhre die Form erhält: (10.) [FORMEL]. Auf Seite der positiven x denke man sich zwei halbe Kugelflächen von sehr groſsem Radius construirt, deren Mittelpunkt im Anfangspunkte der Coordinaten liegt. Zwischen beiden soll Ψ die Form kugeliger Wellen haben, die in den unendlichen Raum hinauslaufen, nämlich, wenn wir wie früher die Entfernung vom Anfang der Coordinaten mit ϱ bezeichnen, (10a.) [FORMEL], wo M und MI unabhängig von ϱ, aber möglicher Weise abhängig von den Winkeln sind, die ϱ mit den Coordinatenaxen bildet. Jenseits der äuſseren jener beiden Kugelflächen mag noch ein Raum liegen, wo die Schallbewegung erst beginnt, aber zwischen der Region der ebenen Wellen in der Röhre, deren Bewegung in der Gleichung (10.) gegeben ist, und der Region der Kugelwellen von der Form (10a.) soll die Stärke und Phase der Luftschwingungen stationär geworden sein, also Ψ hier überall von der Form sein: (10b.) [FORMEL], worin Ψ' und Ψ″ Functionen der Coordinaten, aber unabhängig von der Zeit sind und in diesem ganzen Theile des Luftraumes die Bedingung erfüllen: (3b.) [FORMEL]. Endlich muſs noch längs der ganzen Wand der Röhre und an dem Theile der yz-Ebene, welcher nicht von der Röhrenmündung eingenommen ist, sein: (10c.) [FORMEL]. Wir wollen nun die Beziehungen zwischen den Coefficienten A, B, B, M und M1 der Gleichungen (10.) und (10a.) mittelst des erweiterten Greenschen Theorems aufsuchen.

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 31. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/41>, abgerufen am 30.09.2020.