Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Bild:
<< vorherige Seite

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
von derselben Form wie in Gleichung (8b.) sei. Ausserdem möge an der Ober-
fläche der festen Körper die Gleichung stattfinden. Es sei ferner Ph
das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte b erregt wor-
den ist, so dass in unendlich kleiner Entfernung von b Ph unendlich wird, wie
,
in unendlicher Entfernung r dagegen

sei, wo B und d nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor-
dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muss Ph wie Ps überall
sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper .

Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum S an, der durch
eine mit dem unendlich grossen Radius r um den Anfangspunkt der Coordinaten
beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschliessen
alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die
Integration an den Punkten a und b, wo Ps und Ph unendlich gross werden,
findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7c.) statt. Wir erhalten
(9.) ,
wo Psb den Werth von Ps im Punkte b, und Pha den von Ph im Punkte a
bezeichnet. Die Integration nach do ist sowohl über die Oberflächen der vor-
handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber , so dass
diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun
.

Wenn wir nun bedenken, dass Ps und Ph von der Form sein müssen:
,
,
wo Ps', Ph', Ps" und Ph" von der Zeit unabhängige Grössen sind, so wird

.

Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von t erfüllt sein muss, so muss

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
von derselben Form wie in Gleichung (8b.) sei. Auſserdem möge an der Ober-
fläche der festen Körper die Gleichung stattfinden. Es sei ferner Φ
das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte b erregt wor-
den ist, so daſs in unendlich kleiner Entfernung von b Φ unendlich wird, wie
,
in unendlicher Entfernung ϱ dagegen

sei, wo B und d nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor-
dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muſs Φ wie Ψ überall
sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper .

Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum S an, der durch
eine mit dem unendlich groſsen Radius ϱ um den Anfangspunkt der Coordinaten
beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschlieſsen
alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die
Integration an den Punkten a und b, wo Ψ und Φ unendlich groſs werden,
findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7c.) statt. Wir erhalten
(9.) ,
wo Ψb den Werth von Ψ im Punkte b, und Φa den von Φ im Punkte a
bezeichnet. Die Integration nach ist sowohl über die Oberflächen der vor-
handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber , so daſs
diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun
.

Wenn wir nun bedenken, daſs Ψ und Φ von der Form sein müssen:
,
,
wo Ψ', Φ', Ψ″ und Φ″ von der Zeit unabhängige Gröſsen sind, so wird

.

Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von t erfüllt sein muſs, so muſs

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0038" n="28"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi></fw><lb/>
von derselben Form wie in Gleichung (8<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) sei. Au&#x017F;serdem möge an der Ober-<lb/>
fläche der festen Körper die Gleichung <formula notation="TeX">\frac{d\Psi}{dn} = 0</formula> stattfinden. Es sei ferner &#x03A6;<lb/>
das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte <hi rendition="#i">b</hi> erregt wor-<lb/>
den ist, so da&#x017F;s in unendlich kleiner Entfernung von <hi rendition="#i">b</hi> &#x03A6; unendlich wird, wie<lb/><formula notation="TeX">\Phi = A\frac{\cos kr_b}{r_b}\cos(2\pi nt)</formula>,<lb/>
in unendlicher Entfernung &#x03F1; dagegen<lb/><formula notation="TeX">\Phi = \mathfrak{B}\frac{\cos[k\rho - 2\pi nt + \delta]}{\rho}</formula><lb/>
sei, wo <hi rendition="#fr">B</hi> und <hi rendition="#fr">d</hi> nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor-<lb/>
dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens mu&#x017F;s &#x03A6; wie &#x03A8; überall<lb/>
sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper <formula notation="TeX">\frac{d\Psi}{dn} = 0</formula>.</p><lb/>
          <p>Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi> an, der durch<lb/>
eine mit dem unendlich gro&#x017F;sen Radius &#x03F1; um den Anfangspunkt der Coordinaten<lb/>
beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschlie&#x017F;sen<lb/>
alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die<lb/>
Integration an den Punkten <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi>, wo &#x03A8; und &#x03A6; unendlich gro&#x017F;s werden,<lb/>
findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">c</hi></hi>.) statt. Wir erhalten<lb/>
(9.) <formula notation="TeX">\int\Psi\frac{d\Psi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega = 4\pi A[\Psi_b\cos(2\pi nt) - \Phi_a\cos2\pi nt]</formula>,<lb/>
wo &#x03A8;<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">b</hi></hi> den Werth von &#x03A8; im Punkte <hi rendition="#i">b</hi>, und &#x03A6;<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">a</hi></hi> den von &#x03A6; im Punkte <hi rendition="#i">a</hi><lb/>
bezeichnet. Die Integration nach <hi rendition="#i">d&#x03C9;</hi> ist sowohl über die Oberflächen der vor-<lb/>
handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber <formula notation="TeX">\frac{d\Phi}{dn} = \frac{d\Psi}{dn} = 0</formula>, so da&#x017F;s<lb/>
diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun<lb/><formula notation="TeX">\Psi\frac{d\Phi}{dn} - \Phi\frac{d\Psi}{dn} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}k\sin(\delta - c)</formula>.</p><lb/>
          <p>Wenn wir nun bedenken, da&#x017F;s &#x03A8; und &#x03A6; von der Form sein müssen:<lb/><formula notation="TeX">\Psi = \Psi'\cos(2\pi nt) + \Psi''\sin(2\pi nt)</formula>,<lb/><formula notation="TeX">\Phi = \Phi'\cos(2\pi nt) + \Phi''\sin(2\pi nt)</formula>,<lb/>
wo &#x03A8;', &#x03A6;', &#x03A8;&#x2033; und &#x03A6;&#x2033; von der Zeit unabhängige Grö&#x017F;sen sind, so wird<lb/><formula notation="TeX">\Psi_b\cos(2\pi nt)-\Phi_a\cos(2\pi nt)</formula><lb/><formula notation="TeX">= \tfrac{1}{2}[\Psi'_b - \Phi'_a] + \tfrac{1}{2}[\Psi'_b - \Phi'_a] \cos(4\pi nt) + \tfrac{1}{2}[\Psi''_b - \Phi''_a]\sin(4\pi nt)</formula>.</p><lb/>
          <p>Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von <hi rendition="#i">t</hi> erfüllt sein mu&#x017F;s, so mu&#x017F;s<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[28/0038] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. von derselben Form wie in Gleichung (8b.) sei. Auſserdem möge an der Ober- fläche der festen Körper die Gleichung [FORMEL] stattfinden. Es sei ferner Φ das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte b erregt wor- den ist, so daſs in unendlich kleiner Entfernung von b Φ unendlich wird, wie [FORMEL], in unendlicher Entfernung ϱ dagegen [FORMEL] sei, wo B und d nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor- dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muſs Φ wie Ψ überall sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper [FORMEL]. Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum S an, der durch eine mit dem unendlich groſsen Radius ϱ um den Anfangspunkt der Coordinaten beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschlieſsen alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die Integration an den Punkten a und b, wo Ψ und Φ unendlich groſs werden, findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7c.) statt. Wir erhalten (9.) [FORMEL], wo Ψb den Werth von Ψ im Punkte b, und Φa den von Φ im Punkte a bezeichnet. Die Integration nach dω ist sowohl über die Oberflächen der vor- handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber [FORMEL], so daſs diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun [FORMEL]. Wenn wir nun bedenken, daſs Ψ und Φ von der Form sein müssen: [FORMEL], [FORMEL], wo Ψ', Φ', Ψ″ und Φ″ von der Zeit unabhängige Gröſsen sind, so wird [FORMEL] [FORMEL]. Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von t erfüllt sein muſs, so muſs

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860
URL zu dieser Seite: http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/38
Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 28. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/38>, abgerufen am 30.09.2020.