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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Wendet man die Gleichung (7d.) auf theilweis zusammenstossende
Räume S, und S,, an, indem man die Elemente ihrer nicht gemeinsamen
Oberfläche mit do, und do,,, die des gemeinsamen Stückes ihrer Oberfläche
mit do0 bezeichnet, unter n, die nach dem Inneren von S,, unter n,, die
nach dem Inneren von S,, gerichteten Normalen dieser Flächenelemente ver-
steht, so hat man,
wenn innerhalb S, ,
und innerhalb S,,
der Punkt a, b, g, von dem die Entfernungen r gerechnet werden, aber
innerhalb S, liegt, und wir unter dem Integralzeichen [do, + do0] schreiben,
wo die Integration über sämmtliche Elemente do, und sämmtliche do0 aus-
gedehnt werden soll,
,
.

Wenn nun an der gemeinsamen Trennungsfläche beider Räume
,
ist, so giebt die Addition beider Gleichungen, da dn, = -- dn,,,
.

Die Function Ps, erscheint also hier als Potential von Punkten ausgedrückt, die
an der nicht gemeinsamen Oberfläche der Räume S, und S,, liegen, während
die Punkte der gemeinsamen Trennungsfläche ganz aus dem Integral ver-
schwinden. Genau denselben Ausdruck erhält man aber für Ps,,, wenn man
den Punkt a, b, g in den Raum S,, verlegt. Es sind also in diesem Falle
Ps, und Ps,, Potentiale derselben ausserhalb des gemeinsamen Raumes S, und
S,, liegenden Erregungspunkte, und beide Functionen müssen continuirlich in
einander übergehen.

Wenn wir also im Folgenden für das Geschwindigkeitspotential in ver-
schiedenen Theilen eines zusammenhängenden Luftraumes verschiedene Aus-
drücke Ps, und Ps,, werden wählen müssen, wird die Continuität an der Grenz-

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 4
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Wendet man die Gleichung (7d.) auf theilweis zusammenstoſsende
Räume und S͵͵ an, indem man die Elemente ihrer nicht gemeinsamen
Oberfläche mit dω͵ und dω͵͵, die des gemeinsamen Stückes ihrer Oberfläche
mit 0 bezeichnet, unter die nach dem Inneren von , unter n͵͵ die
nach dem Inneren von S͵͵ gerichteten Normalen dieser Flächenelemente ver-
steht, so hat man,
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und innerhalb S͵͵
der Punkt α, β, γ, von dem die Entfernungen r gerechnet werden, aber
innerhalb liegt, und wir unter dem Integralzeichen [dω͵ + 0] schreiben,
wo die Integration über sämmtliche Elemente dω͵ und sämmtliche 0 aus-
gedehnt werden soll,
,
.

Wenn nun an der gemeinsamen Trennungsfläche beider Räume
,
ist, so giebt die Addition beider Gleichungen, da dn͵ = — dn͵͵,
.

Die Function Ψ͵ erscheint also hier als Potential von Punkten ausgedrückt, die
an der nicht gemeinsamen Oberfläche der Räume und S͵͵ liegen, während
die Punkte der gemeinsamen Trennungsfläche ganz aus dem Integral ver-
schwinden. Genau denselben Ausdruck erhält man aber für Ψ͵͵, wenn man
den Punkt α, β, γ in den Raum S͵͵ verlegt. Es sind also in diesem Falle
Ψ͵ und Ψ͵͵ Potentiale derselben auſserhalb des gemeinsamen Raumes und
S͵͵ liegenden Erregungspunkte, und beide Functionen müssen continuirlich in
einander übergehen.

Wenn wir also im Folgenden für das Geschwindigkeitspotential in ver-
schiedenen Theilen eines zusammenhängenden Luftraumes verschiedene Aus-
drücke Ψ͵ und Ψ͵͵ werden wählen müssen, wird die Continuität an der Grenz-

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 4
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[25/0035] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Wendet man die Gleichung (7d.) auf theilweis zusammenstoſsende Räume S͵ und S͵͵ an, indem man die Elemente ihrer nicht gemeinsamen Oberfläche mit dω͵ und dω͵͵, die des gemeinsamen Stückes ihrer Oberfläche mit dω0 bezeichnet, unter n͵ die nach dem Inneren von S͵, unter n͵͵ die nach dem Inneren von S͵͵ gerichteten Normalen dieser Flächenelemente ver- steht, so hat man, wenn innerhalb S͵ [FORMEL], und innerhalb S͵͵ [FORMEL] der Punkt α, β, γ, von dem die Entfernungen r gerechnet werden, aber innerhalb S͵ liegt, und wir unter dem Integralzeichen [dω͵ + dω0] schreiben, wo die Integration über sämmtliche Elemente dω͵ und sämmtliche dω0 aus- gedehnt werden soll, [FORMEL], [FORMEL]. Wenn nun an der gemeinsamen Trennungsfläche beider Räume [FORMEL], [FORMEL] ist, so giebt die Addition beider Gleichungen, da dn͵ = — dn͵͵, [FORMEL]. Die Function Ψ͵ erscheint also hier als Potential von Punkten ausgedrückt, die an der nicht gemeinsamen Oberfläche der Räume S͵ und S͵͵ liegen, während die Punkte der gemeinsamen Trennungsfläche ganz aus dem Integral ver- schwinden. Genau denselben Ausdruck erhält man aber für Ψ͵͵, wenn man den Punkt α, β, γ in den Raum S͵͵ verlegt. Es sind also in diesem Falle Ψ͵ und Ψ͵͵ Potentiale derselben auſserhalb des gemeinsamen Raumes S͵ und S͵͵ liegenden Erregungspunkte, und beide Functionen müssen continuirlich in einander übergehen. Wenn wir also im Folgenden für das Geschwindigkeitspotential in ver- schiedenen Theilen eines zusammenhängenden Luftraumes verschiedene Aus- drücke Ψ͵ und Ψ͵͵ werden wählen müssen, wird die Continuität an der Grenz- Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 4

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 25. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/35>, abgerufen am 21.09.2020.