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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Wir setzen wieder
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Ps' ist jedenfalls endlich, wenn p und die Grösse der Fläche O endlich sind,
da fr immer endlich ist. Dass Ps" unter denselben Bedingungen endlich ist,
ist aus der Theorie der electrischen Potentialfunctionen bekannt, ebenso dass
Ps" auf beiden Seiten dicht an der Fläche dieselben Werthe hat. Dass letz-
teres auch mit Ps' und also auch mit Ps der Fall sei, ist leicht zu ersehen,
da fr, auch wenn man durch die Schicht selbst hindurchgeht, sich immer nur
continuirlich ändern kann. Dagegen wissen wir, dass die Differentialquotienten
von Ps" an der Fläche einen endlichen Sprung ihres Werthes erleiden, wäh-
rend leicht zu erkennen ist, dass die von Ps' an der Fläche continuirlich sein
müssen. Denken wir uns durch eine geschlossene Linie, die in unendlich
kleiner Entfernung den Fusspunkt des von x, y, z auf die Fläche O gefällten
Lothes umgiebt, ein Stück O0 aus der Fläche herausgeschnitten und das Integral
getheilt in , welches über die Fläche O0, und , welches über
den Rest der Fläche ausgedehnt ist, so dass
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Nun ist die Grösse

für unendlich kleine Werthe von r, bleibt also endlich, macht aber einen
Sprung, wenn man von positiven Werthen von x -- a durch r = 0 nach ne-
gativen übergeht, ist dagegen continuirlich, wenn man nicht durch r = 0 hin-
durchgeht. Letzteres geschieht nun keinenfalls, wenn man in die Werthe
von x, y, z sich ändern lässt. Dagegen ist , wo allerdings ein Sprung
eintreten würde, unendlich klein als das Integral einer endlichen Grösse über
eine unendlich kleine Fläche genommen, und wir können deshalb seinen Werth
gegen und vernachlässigen. Folglich sind die Differentialquotienten
von Ps', welches gleich ist, continuirlich, und die von Ps müssen an

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Wir setzen wieder
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Ψ' ist jedenfalls endlich, wenn p und die Gröſse der Fläche Ω endlich sind,
da fr immer endlich ist. Daſs Ψ″ unter denselben Bedingungen endlich ist,
ist aus der Theorie der electrischen Potentialfunctionen bekannt, ebenso daſs
Ψ″ auf beiden Seiten dicht an der Fläche dieselben Werthe hat. Daſs letz-
teres auch mit Ψ' und also auch mit Ψ der Fall sei, ist leicht zu ersehen,
da fr, auch wenn man durch die Schicht selbst hindurchgeht, sich immer nur
continuirlich ändern kann. Dagegen wissen wir, daſs die Differentialquotienten
von Ψ″ an der Fläche einen endlichen Sprung ihres Werthes erleiden, wäh-
rend leicht zu erkennen ist, daſs die von Ψ' an der Fläche continuirlich sein
müssen. Denken wir uns durch eine geschlossene Linie, die in unendlich
kleiner Entfernung den Fuſspunkt des von x, y, z auf die Fläche Ω gefällten
Lothes umgiebt, ein Stück Ω0 aus der Fläche herausgeschnitten und das Integral
getheilt in , welches über die Fläche Ω0, und , welches über
den Rest der Fläche ausgedehnt ist, so daſs
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Nun ist die Gröſse

für unendlich kleine Werthe von r, bleibt also endlich, macht aber einen
Sprung, wenn man von positiven Werthen von x — a durch r = 0 nach ne-
gativen übergeht, ist dagegen continuirlich, wenn man nicht durch r = 0 hin-
durchgeht. Letzteres geschieht nun keinenfalls, wenn man in die Werthe
von x, y, z sich ändern läſst. Dagegen ist , wo allerdings ein Sprung
eintreten würde, unendlich klein als das Integral einer endlichen Gröſse über
eine unendlich kleine Fläche genommen, und wir können deshalb seinen Werth
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[21/0031] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Wir setzen wieder [FORMEL], [FORMEL], [FORMEL], [FORMEL]. Ψ' ist jedenfalls endlich, wenn p und die Gröſse der Fläche Ω endlich sind, da fr immer endlich ist. Daſs Ψ″ unter denselben Bedingungen endlich ist, ist aus der Theorie der electrischen Potentialfunctionen bekannt, ebenso daſs Ψ″ auf beiden Seiten dicht an der Fläche dieselben Werthe hat. Daſs letz- teres auch mit Ψ' und also auch mit Ψ der Fall sei, ist leicht zu ersehen, da fr, auch wenn man durch die Schicht selbst hindurchgeht, sich immer nur continuirlich ändern kann. Dagegen wissen wir, daſs die Differentialquotienten von Ψ″ an der Fläche einen endlichen Sprung ihres Werthes erleiden, wäh- rend leicht zu erkennen ist, daſs die von Ψ' an der Fläche continuirlich sein müssen. Denken wir uns durch eine geschlossene Linie, die in unendlich kleiner Entfernung den Fuſspunkt des von x, y, z auf die Fläche Ω gefällten Lothes umgiebt, ein Stück Ω0 aus der Fläche herausgeschnitten und das Integral [FORMEL]getheilt in [FORMEL], welches über die Fläche Ω0, und [FORMEL], welches über den Rest der Fläche ausgedehnt ist, so daſs [FORMEL]. Nun ist die Gröſse [FORMEL] für unendlich kleine Werthe von r, bleibt also endlich, macht aber einen Sprung, wenn man von positiven Werthen von x — a durch r = 0 nach ne- gativen übergeht, ist dagegen continuirlich, wenn man nicht durch r = 0 hin- durchgeht. Letzteres geschieht nun keinenfalls, wenn man in [FORMEL] die Werthe von x, y, z sich ändern läſst. Dagegen ist [FORMEL], wo allerdings ein Sprung eintreten würde, unendlich klein als das Integral einer endlichen Gröſse über eine unendlich kleine Fläche genommen, und wir können deshalb seinen Werth gegen [FORMEL] und [FORMEL] vernachlässigen. Folglich sind die Differentialquotienten von Ψ', welches gleich [FORMEL] ist, continuirlich, und die von Ψ müssen an

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 21. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/31>, abgerufen am 30.09.2020.