Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Bild:
<< vorherige Seite

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
die Gleichung (4.) gültig sein soll,
.

Um die durch das Zeichen xPs vorgeschriebenen Differentiationen
unter dem Integralzeichen in (5.) vornehmen zu können, denke ich mir den
ganzen Raum durch eine den Punkt a, b, g in unendlich kleiner Entfernung
umgebende rings geschlossene Fläche getheilt, und nenne den unendlich klei-
nen inneren Raum S0, den umgebenden äusseren S1. Das in dem Werthe
von Ps (Gleichung (5.)) enthaltene Integral zerlege ich dem entsprechend in
zwei Theile, von denen der eine Ps0 der Integration über S0, der andere Ps1
der über S1 entspricht.

Es ist also
(5a.) .

Da Ps1 ein Potential von Erregungspunkten, die ausserhalb S0 liegen, für einen
innerhalb S0 enthaltenen Punkt ist, so ist
,
ebenso
,
also
(5b.) .

Nun setze ich
,
welche Grösse fr für r = 0 auch gleich Null wird, während aus den Gleichun-
gen (4b.) sich ergiebt, dass für sehr kleine Werthe von r , und
sich auf Grössen von der Dimension reduciren, und für r = 0

wird. Ferner setze ich
,
,
beide Integrale über den unendlich kleinen Raum S0 ausgedehnt, so dass
(5c.) .

Um zu ermitteln, von welcher Grössenordnung Ps', Ps" und Ps' sind, führe

3 *

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
die Gleichung (4.) gültig sein soll,
.

Um die durch das Zeichen ∇xΨ vorgeschriebenen Differentiationen
unter dem Integralzeichen in (5.) vornehmen zu können, denke ich mir den
ganzen Raum durch eine den Punkt α, β, γ in unendlich kleiner Entfernung
umgebende rings geschlossene Fläche getheilt, und nenne den unendlich klei-
nen inneren Raum S0, den umgebenden äuſseren S1. Das in dem Werthe
von Ψ (Gleichung (5.)) enthaltene Integral zerlege ich dem entsprechend in
zwei Theile, von denen der eine Ψ0 der Integration über S0, der andere Ψ1
der über S1 entspricht.

Es ist also
(5a.) .

Da Ψ1 ein Potential von Erregungspunkten, die auſserhalb S0 liegen, für einen
innerhalb S0 enthaltenen Punkt ist, so ist
,
ebenso
,
also
(5b.) .

Nun setze ich
,
welche Gröſse fr für r = 0 auch gleich Null wird, während aus den Gleichun-
gen (4b.) sich ergiebt, daſs für sehr kleine Werthe von r , und
sich auf Gröſsen von der Dimension reduciren, und für r = 0

wird. Ferner setze ich
,
,
beide Integrale über den unendlich kleinen Raum S0 ausgedehnt, so daſs
(5c.) .

Um zu ermitteln, von welcher Gröſsenordnung Ψ', Ψ″ und ∇Ψ' sind, führe

3 *
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0029" n="19"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi></fw><lb/>
die Gleichung (4.) gültig sein soll,<lb/><formula notation="TeX">\nabla_x\Phi + k^2\Phi = 0</formula>.</p>
          <p>Um die durch das Zeichen &#x2207;<hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">x</hi></hi>&#x03A8; vorgeschriebenen Differentiationen<lb/>
unter dem Integralzeichen in (5.) vornehmen zu können, denke ich mir den<lb/>
ganzen Raum durch eine den Punkt &#x03B1;, &#x03B2;, &#x03B3; in unendlich kleiner Entfernung<lb/>
umgebende rings geschlossene Fläche getheilt, und nenne den unendlich klei-<lb/>
nen inneren Raum <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi><hi rendition="#sub">0</hi>, den umgebenden äu&#x017F;seren <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi><hi rendition="#sub">1</hi>. Das in dem Werthe<lb/>
von &#x03A8; (Gleichung (5.)) enthaltene Integral zerlege ich dem entsprechend in<lb/>
zwei Theile, von denen der eine &#x03A8;<hi rendition="#sub">0</hi> der Integration über <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi><hi rendition="#sub">0</hi>, der andere &#x03A8;<hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
der über <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi><hi rendition="#sub">1</hi> entspricht.</p><lb/>
          <p>Es ist also<lb/>
(5<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\Psi = \Psi_0 + \Psi_1 + \Phi</formula>.</p><lb/>
          <p>Da &#x03A8;<hi rendition="#sub">1</hi> ein Potential von Erregungspunkten, die au&#x017F;serhalb <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi><hi rendition="#sub">0</hi> liegen, für einen<lb/>
innerhalb <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi><hi rendition="#sub">0</hi> enthaltenen Punkt ist, so ist<lb/><formula notation="TeX">\nabla_x\Psi_1 + k^2\Psi_1 = 0</formula>,<lb/>
ebenso<lb/><formula notation="TeX">\nabla_x\Phi + k^2\Phi = 0</formula>,<lb/>
also<lb/>
(5<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\nabla_x\Psi + k^2\Psi = \nabla_x\Psi_0 + k^2\Psi_0</formula>.</p><lb/>
          <p>Nun setze ich<lb/><formula notation="TeX">f_r = \frac{\cos kr}{r}-\frac{1}{r}</formula>,<lb/>
welche Grö&#x017F;se <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">f</hi></hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">r</hi></hi> für <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi> = 0 auch gleich Null wird, während aus den Gleichun-<lb/>
gen (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) sich ergiebt, da&#x017F;s für sehr kleine Werthe von <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi> <formula notation="TeX">\frac{d^2f}{dx^2}</formula>, <formula notation="TeX">\frac{d^2f}{dy^2}</formula> und<lb/><formula notation="TeX">\frac{d^2f}{dz^2}</formula> sich auf Grö&#x017F;sen von der Dimension <formula notation="TeX">\frac{1}{r}</formula> reduciren, und für <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi> = 0<lb/><formula notation="TeX">\nabla_x f_r = -\frac{k^2}{r}</formula><lb/>
wird. Ferner setze ich<lb/><formula notation="TeX">\Psi' = \int\int\int q_{\alpha,\beta,\gamma}f_rd\alpha d\beta d\gamma</formula>,<lb/><formula notation="TeX">\Psi'' = \int\int\int q_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{1}{r}d\alpha d\beta d\gamma</formula>,<lb/>
beide Integrale über den unendlich kleinen Raum <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi><hi rendition="#sub">0</hi> ausgedehnt, so da&#x017F;s<lb/>
(5<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">c</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\Psi_0 = \Psi' + \Psi''</formula>.</p><lb/>
          <p>Um zu ermitteln, von welcher Grö&#x017F;senordnung &#x03A8;', &#x03A8;&#x2033; und &#x2207;&#x03A8;' sind, führe<lb/>
<fw place="bottom" type="sig">3 *</fw><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[19/0029] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. die Gleichung (4.) gültig sein soll, [FORMEL]. Um die durch das Zeichen ∇xΨ vorgeschriebenen Differentiationen unter dem Integralzeichen in (5.) vornehmen zu können, denke ich mir den ganzen Raum durch eine den Punkt α, β, γ in unendlich kleiner Entfernung umgebende rings geschlossene Fläche getheilt, und nenne den unendlich klei- nen inneren Raum S0, den umgebenden äuſseren S1. Das in dem Werthe von Ψ (Gleichung (5.)) enthaltene Integral zerlege ich dem entsprechend in zwei Theile, von denen der eine Ψ0 der Integration über S0, der andere Ψ1 der über S1 entspricht. Es ist also (5a.) [FORMEL]. Da Ψ1 ein Potential von Erregungspunkten, die auſserhalb S0 liegen, für einen innerhalb S0 enthaltenen Punkt ist, so ist [FORMEL], ebenso [FORMEL], also (5b.) [FORMEL]. Nun setze ich [FORMEL], welche Gröſse fr für r = 0 auch gleich Null wird, während aus den Gleichun- gen (4b.) sich ergiebt, daſs für sehr kleine Werthe von r [FORMEL], [FORMEL] und [FORMEL] sich auf Gröſsen von der Dimension [FORMEL] reduciren, und für r = 0 [FORMEL] wird. Ferner setze ich [FORMEL], [FORMEL], beide Integrale über den unendlich kleinen Raum S0 ausgedehnt, so daſs (5c.) [FORMEL]. Um zu ermitteln, von welcher Gröſsenordnung Ψ', Ψ″ und ∇Ψ' sind, führe 3 *

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860
URL zu dieser Seite: http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/29
Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 19. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/29>, abgerufen am 30.09.2020.