Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Bild:
<< vorherige Seite

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
im ganzen mit Luft gefüllten Raume erfüllt sein muss mit Ausnahme solcher
Stellen, wo veränderliche Kräfte auf die Luft wirken, schliessen wir, dass in
den Formen des Integrals (4d.), (4f.), (4h.) diejenigen Punkte und Theile des
Raumes, in denen die Gleichung (3b.) nicht erfüllt ist, Erregungspunkte
des Schalls sind. Wir wollen sie auch als solche bezeichnen. Es mag in
den Formen des Integrals (4d.) und (4f.) die Constante A die Intensität
des betreffenden Erregungspunktes heissen, und in (4h.), wo die Erregungs-
punkte continuirlich durch den Raum vertheilt gedacht sind, nennen wir die Con-
stante h ihre Dichtigkeit. Bei electrischen Problemen, wo k = 0, würden die
Erregungspunkte den Massenpunkten, die Intensität der Masse, die Dichtigkeit
der Dichtigkeit entsprechen. Da die Functionen Ps die Bedeutung von Geschwindigkeitspotentialen
haben, wollen wir, entsprechend dem Sprachgebrauch
in der Lehre von der Electricität und dem Magnetismus, eine solche Summe
wie (4f.), welche sich auf eine bestimmte Zahl von Punkten a, b, g bezieht,
das Geschwindigkeitspotential dieser bestimmten Erregungspunkte nennen.
Die Gleichung (3b.) wird also erfüllt durch die ganze Ausdehnung eines ge-
gebenen Raumes S, wenn Ps das Geschwindigkeitspotential ausserhalb S
gelegener Erregungspunkte ist.

§. 3.

Wenn wir nun zur Betrachtung der Differentialgleichung
(3.)
übergehen, so ist zunächst zu bemerken, dass für k = 0, diese Gleichung in
(3d.)
übergeht, deren Integral bekanntlich ist:
,
worin Ph eine Function bezeichnet, für welche in dem ganzen Theile des
Raumes, wo die Gleichung (3d.) erfüllt sein soll, Ph = 0 ist.

Wir wollen jetzt zeigen, dass in ganz analoger Weise das Integral
der Gleichung
(3.)
ist:
(5.) ,
wo Ph eine Function bezeichnet, für welche in den Theilen des Raumes, wo

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
im ganzen mit Luft gefüllten Raume erfüllt sein muſs mit Ausnahme solcher
Stellen, wo veränderliche Kräfte auf die Luft wirken, schlieſsen wir, daſs in
den Formen des Integrals (4d.), (4f.), (4h.) diejenigen Punkte und Theile des
Raumes, in denen die Gleichung (3b.) nicht erfüllt ist, Erregungspunkte
des Schalls sind. Wir wollen sie auch als solche bezeichnen. Es mag in
den Formen des Integrals (4d.) und (4f.) die Constante A die Intensität
des betreffenden Erregungspunktes heiſsen, und in (4h.), wo die Erregungs-
punkte continuirlich durch den Raum vertheilt gedacht sind, nennen wir die Con-
stante h ihre Dichtigkeit. Bei electrischen Problemen, wo k = 0, würden die
Erregungspunkte den Massenpunkten, die Intensität der Masse, die Dichtigkeit
der Dichtigkeit entsprechen. Da die Functionen Ψ die Bedeutung von Geschwindigkeitspotentialen
haben, wollen wir, entsprechend dem Sprachgebrauch
in der Lehre von der Electricität und dem Magnetismus, eine solche Summe
wie (4f.), welche sich auf eine bestimmte Zahl von Punkten α, β, γ bezieht,
das Geschwindigkeitspotential dieser bestimmten Erregungspunkte nennen.
Die Gleichung (3b.) wird also erfüllt durch die ganze Ausdehnung eines ge-
gebenen Raumes S, wenn Ψ das Geschwindigkeitspotential auſserhalb S
gelegener Erregungspunkte ist.

§. 3.

Wenn wir nun zur Betrachtung der Differentialgleichung
(3.)
übergehen, so ist zunächst zu bemerken, daſs für k = 0, diese Gleichung in
(3d.)
übergeht, deren Integral bekanntlich ist:
,
worin Φ eine Function bezeichnet, für welche in dem ganzen Theile des
Raumes, wo die Gleichung (3d.) erfüllt sein soll, ∇Φ = 0 ist.

Wir wollen jetzt zeigen, daſs in ganz analoger Weise das Integral
der Gleichung
(3.)
ist:
(5.) ,
wo Φ eine Function bezeichnet, für welche in den Theilen des Raumes, wo

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0028" n="18"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi></fw><lb/>
im ganzen mit Luft gefüllten Raume erfüllt sein mu&#x017F;s mit Ausnahme solcher<lb/>
Stellen, wo veränderliche Kräfte auf die Luft wirken, schlie&#x017F;sen wir, da&#x017F;s in<lb/>
den Formen des Integrals (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.), (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">f</hi></hi>.), (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">h</hi></hi>.) diejenigen Punkte und Theile des<lb/>
Raumes, in denen die Gleichung (3<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) nicht erfüllt ist, <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Erregungspunkte</hi></hi><lb/>
des Schalls sind. Wir wollen sie auch als solche bezeichnen. Es mag in<lb/>
den Formen des Integrals (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.) und (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">f</hi></hi>.) die Constante <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">A</hi></hi> die <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Intensität</hi></hi><lb/>
des betreffenden Erregungspunktes hei&#x017F;sen, und in (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">h</hi></hi>.), wo die Erregungs-<lb/>
punkte continuirlich durch den Raum vertheilt gedacht sind, nennen wir die Con-<lb/>
stante <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">h</hi></hi> ihre <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Dichtigkeit</hi></hi>. Bei electrischen Problemen, wo <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">k</hi></hi> = 0, würden die<lb/>
Erregungspunkte den Massenpunkten, die Intensität der Masse, die Dichtigkeit<lb/>
der Dichtigkeit entsprechen. Da die Functionen &#x03A8; die Bedeutung von Geschwindigkeitspotentialen<lb/>
haben, wollen wir, entsprechend dem Sprachgebrauch<lb/>
in der Lehre von der Electricität und dem Magnetismus, eine solche Summe<lb/>
wie (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">f</hi></hi>.), welche sich auf eine bestimmte Zahl von Punkten &#x03B1;, &#x03B2;, &#x03B3; bezieht,<lb/>
das <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Geschwindigkeitspotential dieser bestimmten Erregungspunkte</hi></hi> nennen.<lb/>
Die Gleichung (3<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) wird also erfüllt durch die ganze Ausdehnung eines ge-<lb/>
gebenen Raumes <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi>, wenn &#x03A8; das Geschwindigkeitspotential au&#x017F;serhalb <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi><lb/>
gelegener Erregungspunkte ist.</p>
        </div><lb/>
        <div n="2">
          <head>§. 3.</head><lb/>
          <p>Wenn wir nun zur Betrachtung der Differentialgleichung<lb/>
(3.) <formula notation="TeX">\nabla_x\Psi + k^2\Psi = -4\pi q</formula><lb/>
übergehen, so ist zunächst zu bemerken, da&#x017F;s für <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">k</hi></hi> = 0, diese Gleichung in<lb/>
(3<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\nabla_x\Psi = -4\pi q</formula><lb/>
übergeht, deren Integral bekanntlich ist:<lb/><formula notation="TeX">\Psi = \int\int\int \frac{q_{\alpha,\beta,\gamma}}{r}d\alpha d\beta d\gamma + \Phi</formula>,<lb/>
worin &#x03A6; eine Function bezeichnet, für welche in dem ganzen Theile des<lb/>
Raumes, wo die Gleichung (3<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.) erfüllt sein soll, &#x2207;&#x03A6; = 0 ist.</p><lb/>
          <p>Wir wollen jetzt zeigen, da&#x017F;s in ganz analoger Weise das Integral<lb/>
der Gleichung<lb/>
(3.) <formula notation="TeX">\nabla_x\Psi + k^2\Psi = -4\pi q</formula><lb/>
ist:<lb/>
(5.) <formula notation="TeX">\Psi = \int\int\int q_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\cos kr}{r}d\alpha d\beta d\gamma + \Psi</formula>,<lb/>
wo &#x03A6; eine Function bezeichnet, für welche in den Theilen des Raumes, wo<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[18/0028] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. im ganzen mit Luft gefüllten Raume erfüllt sein muſs mit Ausnahme solcher Stellen, wo veränderliche Kräfte auf die Luft wirken, schlieſsen wir, daſs in den Formen des Integrals (4d.), (4f.), (4h.) diejenigen Punkte und Theile des Raumes, in denen die Gleichung (3b.) nicht erfüllt ist, Erregungspunkte des Schalls sind. Wir wollen sie auch als solche bezeichnen. Es mag in den Formen des Integrals (4d.) und (4f.) die Constante A die Intensität des betreffenden Erregungspunktes heiſsen, und in (4h.), wo die Erregungs- punkte continuirlich durch den Raum vertheilt gedacht sind, nennen wir die Con- stante h ihre Dichtigkeit. Bei electrischen Problemen, wo k = 0, würden die Erregungspunkte den Massenpunkten, die Intensität der Masse, die Dichtigkeit der Dichtigkeit entsprechen. Da die Functionen Ψ die Bedeutung von Geschwindigkeitspotentialen haben, wollen wir, entsprechend dem Sprachgebrauch in der Lehre von der Electricität und dem Magnetismus, eine solche Summe wie (4f.), welche sich auf eine bestimmte Zahl von Punkten α, β, γ bezieht, das Geschwindigkeitspotential dieser bestimmten Erregungspunkte nennen. Die Gleichung (3b.) wird also erfüllt durch die ganze Ausdehnung eines ge- gebenen Raumes S, wenn Ψ das Geschwindigkeitspotential auſserhalb S gelegener Erregungspunkte ist. §. 3. Wenn wir nun zur Betrachtung der Differentialgleichung (3.) [FORMEL] übergehen, so ist zunächst zu bemerken, daſs für k = 0, diese Gleichung in (3d.) [FORMEL] übergeht, deren Integral bekanntlich ist: [FORMEL], worin Φ eine Function bezeichnet, für welche in dem ganzen Theile des Raumes, wo die Gleichung (3d.) erfüllt sein soll, ∇Φ = 0 ist. Wir wollen jetzt zeigen, daſs in ganz analoger Weise das Integral der Gleichung (3.) [FORMEL] ist: (5.) [FORMEL], wo Φ eine Function bezeichnet, für welche in den Theilen des Raumes, wo

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860
URL zu dieser Seite: http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/28
Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 18. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/28>, abgerufen am 30.09.2020.