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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Wenn wir aber setzen
(4f.)
so ist die Gleichung (3b.) im ganzen Raume erfüllt mit Ausnahme derjenigen
Punkte, deren Coordinaten a, b, g in der Summe vorkommen.

Denken wir uns die Punkte a, b, g continuirlich neben einander im
Raume vertheilt, so werden aus den Summen Integrale, und wir schliessen,
dass die Function
(4g.)
im ganzen Raume der Gleichung (3b.) genügt, dagegen die Function
(4h.)
nur in denjenigen Theilen des Raumes, für welche h = 0. In beiden soll
h eine willkürliche Function von a, b und g bedeuten.

Wenn wir in der Gleichung (3b.) k = 0 setzen, verwandelt sie sich in
(3c.) ,
die bekannte Differentialgleichung für die Potentialfunctionen solcher Massen,
welche in die Ferne mit anziehenden oder abstossenden Kräften wirken, deren
Intensität dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist. Die ver-
schiedenen Formen für das Integral Ps der Gleichung (3b.), welche wir auf-
gestellt haben, verwandeln sich, wenn sie enthalten, in
Ps = Constans,
welches Integral im ganzen Raume ohne Ausnahme eines Punktes der Glei-
chung (3c.) genügt, oder, wenn sie enthalten, in

oder
,
welche beiden Formen in denjenigen Punkten des Raumes nicht genügen,
in denen anziehende oder abstossende Masse vorhanden ist, in denen also A
oder h nicht gleich Null ist.

Da die Gleichung

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 3
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Wenn wir aber setzen
(4f.)
so ist die Gleichung (3b.) im ganzen Raume erfüllt mit Ausnahme derjenigen
Punkte, deren Coordinaten α, β, γ in der Summe vorkommen.

Denken wir uns die Punkte α, β, γ continuirlich neben einander im
Raume vertheilt, so werden aus den Summen Integrale, und wir schlieſsen,
daſs die Function
(4g.)
im ganzen Raume der Gleichung (3b.) genügt, dagegen die Function
(4h.)
nur in denjenigen Theilen des Raumes, für welche h = 0. In beiden soll
h eine willkürliche Function von α, β und γ bedeuten.

Wenn wir in der Gleichung (3b.) k = 0 setzen, verwandelt sie sich in
(3c.) ,
die bekannte Differentialgleichung für die Potentialfunctionen solcher Massen,
welche in die Ferne mit anziehenden oder abstoſsenden Kräften wirken, deren
Intensität dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist. Die ver-
schiedenen Formen für das Integral Ψ der Gleichung (3b.), welche wir auf-
gestellt haben, verwandeln sich, wenn sie enthalten, in
Ψ = Constans,
welches Integral im ganzen Raume ohne Ausnahme eines Punktes der Glei-
chung (3c.) genügt, oder, wenn sie enthalten, in

oder
,
welche beiden Formen in denjenigen Punkten des Raumes nicht genügen,
in denen anziehende oder abstoſsende Masse vorhanden ist, in denen also A
oder h nicht gleich Null ist.

Da die Gleichung

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 3
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[17/0027] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Wenn wir aber setzen (4f.) [FORMEL] so ist die Gleichung (3b.) im ganzen Raume erfüllt mit Ausnahme derjenigen Punkte, deren Coordinaten α, β, γ in der Summe vorkommen. Denken wir uns die Punkte α, β, γ continuirlich neben einander im Raume vertheilt, so werden aus den Summen Integrale, und wir schlieſsen, daſs die Function (4g.) [FORMEL] im ganzen Raume der Gleichung (3b.) genügt, dagegen die Function (4h.) [FORMEL] nur in denjenigen Theilen des Raumes, für welche h = 0. In beiden soll h eine willkürliche Function von α, β und γ bedeuten. Wenn wir in der Gleichung (3b.) k = 0 setzen, verwandelt sie sich in (3c.) [FORMEL], die bekannte Differentialgleichung für die Potentialfunctionen solcher Massen, welche in die Ferne mit anziehenden oder abstoſsenden Kräften wirken, deren Intensität dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist. Die ver- schiedenen Formen für das Integral Ψ der Gleichung (3b.), welche wir auf- gestellt haben, verwandeln sich, wenn sie [FORMEL] enthalten, in Ψ = Constans, welches Integral im ganzen Raume ohne Ausnahme eines Punktes der Glei- chung (3c.) genügt, oder, wenn sie [FORMEL] enthalten, in [FORMEL] oder [FORMEL], welche beiden Formen in denjenigen Punkten des Raumes nicht genügen, in denen anziehende oder abstoſsende Masse vorhanden ist, in denen also A oder h nicht gleich Null ist. Da die Gleichung [FORMEL] Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 3

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 17. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/27>, abgerufen am 30.09.2020.