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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
In dem Folgenden nehmen wir an, dass die Geschwindigkeiten und Aenderun-
gen der Dichtigkeit verschwindend klein seien. Setzen wir
,
so betrachten wir also P, h, sämmtliche Differentialquotienten von h, P und Ph
als unendlich kleine Grössen, und vernachlässigen ihre höheren Potenzen. Dann
werden die beiden Gleichungen (1d.) und (1e.), indem man setzt,
(1f.) ,
(1g.) .
Indem man die erste Gleichung nach t differentiirt, kann man h aus beiden
eliminiren *) und erhält
(2.) .

Wir wollen im Folgenden nur Fälle behandeln, wo wir es mit einem
einzigen gleichmässig anhaltenden Tone von n Schwingungen in der Zeitein-
heit zu thun haben, und also Ph von der Form ist:
(2a.) ,
wo Ps' und Ps" Functionen von x, y, z sind. Dabei kann die Gleichung (2.)
nur bestehen, wenn auch P von der Form ist:
(2b.) .

Es zerfällt dann die Gleichung (2.) in die folgenden beiden:

(3.),,
wo
(3a.) ,
und l die Wellenlänge ist.


*) Ich bemerke hier noch, dass diese Elimination von h auch an den unverkürzten
Gleichungen (1d.) und (1e.) vollzogen werden kann, und dass man die Eliminationsglei-
chung, welche von der dritten Dimension in Bezug auf Ph und seine Differentialquotienten
ist, ebenfalls mit Hülfe der hier folgenden Theoreme durch eine nach Sinus und Cosinus
der Zeit fortlaufende Reihe integriren kann, deren Glieder von nter Dimension der kleinen
Grössen den Combinationstönen nter Ordnung der primär angegebenen Töne entsprechen.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
In dem Folgenden nehmen wir an, daſs die Geschwindigkeiten und Aenderun-
gen der Dichtigkeit verschwindend klein seien. Setzen wir
,
so betrachten wir also P, h, sämmtliche Differentialquotienten von h, P und Φ
als unendlich kleine Gröſsen, und vernachlässigen ihre höheren Potenzen. Dann
werden die beiden Gleichungen (1d.) und (1e.), indem man setzt,
(1f.) ,
(1g.) .
Indem man die erste Gleichung nach t differentiirt, kann man h aus beiden
eliminiren *) und erhält
(2.) .

Wir wollen im Folgenden nur Fälle behandeln, wo wir es mit einem
einzigen gleichmäſsig anhaltenden Tone von n Schwingungen in der Zeitein-
heit zu thun haben, und also Φ von der Form ist:
(2a.) ,
wo Ψ' und Ψ″ Functionen von x, y, z sind. Dabei kann die Gleichung (2.)
nur bestehen, wenn auch P von der Form ist:
(2b.) .

Es zerfällt dann die Gleichung (2.) in die folgenden beiden:

(3.),,
wo
(3a.) ,
und λ die Wellenlänge ist.


*) Ich bemerke hier noch, daſs diese Elimination von h auch an den unverkürzten
Gleichungen (1d.) und (1e.) vollzogen werden kann, und daſs man die Eliminationsglei-
chung, welche von der dritten Dimension in Bezug auf Φ und seine Differentialquotienten
ist, ebenfalls mit Hülfe der hier folgenden Theoreme durch eine nach Sinus und Cosinus
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[14/0024] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. In dem Folgenden nehmen wir an, daſs die Geschwindigkeiten und Aenderun- gen der Dichtigkeit verschwindend klein seien. Setzen wir [FORMEL], so betrachten wir also P, h, sämmtliche Differentialquotienten von h, P und Φ als unendlich kleine Gröſsen, und vernachlässigen ihre höheren Potenzen. Dann werden die beiden Gleichungen (1d.) und (1e.), indem man [FORMEL] setzt, (1f.) [FORMEL], (1g.) [FORMEL]. Indem man die erste Gleichung nach t differentiirt, kann man h aus beiden eliminiren *) und erhält (2.) [FORMEL]. Wir wollen im Folgenden nur Fälle behandeln, wo wir es mit einem einzigen gleichmäſsig anhaltenden Tone von n Schwingungen in der Zeitein- heit zu thun haben, und also Φ von der Form ist: (2a.) [FORMEL], wo Ψ' und Ψ″ Functionen von x, y, z sind. Dabei kann die Gleichung (2.) nur bestehen, wenn auch P von der Form ist: (2b.) [FORMEL]. Es zerfällt dann die Gleichung (2.) in die folgenden beiden: (3.)[FORMEL], [FORMEL], wo (3a.) [FORMEL], und λ die Wellenlänge ist. *) Ich bemerke hier noch, daſs diese Elimination von h auch an den unverkürzten Gleichungen (1d.) und (1e.) vollzogen werden kann, und daſs man die Eliminationsglei- chung, welche von der dritten Dimension in Bezug auf Φ und seine Differentialquotienten ist, ebenfalls mit Hülfe der hier folgenden Theoreme durch eine nach Sinus und Cosinus der Zeit fortlaufende Reihe integriren kann, deren Glieder von nter Dimension der kleinen Gröſsen den Combinationstönen nter Ordnung der primär angegebenen Töne entsprechen.

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 14. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/24>, abgerufen am 21.09.2020.