Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

Arbeiten ohne Maschinen.

Aufgabe für jeden Arbeiter gegeben, es bleibt daher nur noch [Formel 1]
zu einem Maximum zu machen. In diesem Ausdrucke kommt es auf das Verhältniss
der wirklichen Geschwindigkeit v zur mittlern c [Formel 2] dann auf das Verhält-
niss der wirklichen Arbeitszeit z zur mittlern t [Formel 3] an. Da nun diese zwei Ver-
hältnisse von einander unabhängig sind, so müssen die Produkte [Formel 4] und
[Formel 5] ein jedes für sich ein Maximum werden. Diese Produkte haben aber das
Eigene, dass wenn man einen Faktor [Formel 6] oder [Formel 7] grösser als 1 nimmt, dagegen der andere
2 — [Formel 8] und 2 — [Formel 9] kleiner als 1 wird.

Um nun auszumitteln, unter welchen Umständen diese zwei Produkte am grössten
werden, betrachten wir zuerst [Formel 10] ^*). Da hier die mittlere Ge-
schwindigkeit c eine nach der Beschaffenheit der Arbeiter gegebene Grösse ist, so muss
bloss v (2c — v) ein Maximum werden. Um diess zu bestimmen, trage man die doppelte
Geschwindigkeit 2c, welche nach (§. 8.) eine Linie gibt, auf ein Blatt auf, oder man
Fig.
2.
Tab.
I.mache (Fig. 2.) die Linie A D = 2c; schneidet man hievon das Stück A B = v ab, so ist
B D = 2c — v. Die Linie A D wird hierauf in zwei gleiche Theile in O getheilt, und aus diesem

*) Die höhere Analysis lehrt ein sehr einfaches und allgemeines Verfahren, denjenigen Werth einer
veränderlichen Grösse (v oder x) zu finden, bei welchem eine Funktion dieser Grösse am grössten
oder kleinsten (ein Maximum oder Minimum) wird. Dieses Verfahren besteht darin, dass man an
die Stelle dieser veränderlichen Grösse (v oder x) einen Werth (v + w oder x + w) setzt und
die daraus entstehende Funktion nach den Potenzen von w ordnet, sonach der veränderlichen Grösse
(v oder x) einen solchen Werth gibt, bei welchem dasjenige Glied, welches die erste Potenz des
w zum Faktor hat, verschwindet. Es sey z. B. die gegebene Funktion (f v) = 2 c v — v². Setzen
wir in dieser Funktion die Grösse v + w an die Stelle von v, so erhalten wir
(f (v + w)) = 2 c (v + w) — (v + w)² = 2 c v — v² + (2 c — 2 v) w — w². Lassen wir nun
(2 c — 2 v) w verschwinden, so muss v = c seyn, und diess ist derjenige Werh von v, durch
welchen die Funktion (2 c — v) v ihren grössten oder kleinsten Werth erhält. Derselbe ist
nämlich = (2c — c) c = c². Der Beweis hiezu ist daraus ersichtlich, weil dadurch (f (v + w))
= 2c² — c² + (2c — 2c) w — w² = c² — w² wird. Man sieht hier, dass diese Funktion in jedem
Falle kleiner seyn werde als c², man möge dem w was immer für einen positiven oder negativen
Werth beilegen. Zugleich erhellt aus unserem Falle, dass der gefundene Werth c² ein Maximum
seyn müsse, weil w² negativ wird, man mag w positiv oder negativ setzen. — Betrachten wir im
Gegentheile die Funktion (f. v) = a² — (2cv — v²), so ist auf gleiche Art
(f (v + w)) = a² — 2c (v + w) + (v + w)² = a² — 2cv + v² — (2c — 2v) w + w². Setzen
wir hier abermals (2c — 2v) w = 0, folglich c = v, so gibt dieser Werth
(f (v + w)) = a² — c² + w²; daraus ist ersichtlich, dass der Werth a² — c² ein Minimum sey, oder
dass die Gleichung v = c ein Minimum gegeben habe, weil w² positiv ist, und auch diesen Werth
behält, man mag für w was immer für eine positive oder negative Grösse setzen.
Da die Funktionen von sehr verschiedener Art seyn können, so kommt es der Differentialrech-
nung zu, für jeden Fall die Form desjenigen Gliedes auszumitteln, welches die Grösse w zum
Faktor hat, und zugleich den Coefficienten des w² zu bestimmen, um daraus zu ersehen, ob man ein
Maximum oder Minimum erhalte.