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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Aufsteigen und Einsinken zusammenhängender Bögen.
Fig.
11.
Tab.
20.
geben das Einsinken des mehr belasteten Brückenfeldes nach der unten gefundenen letz-
ten Gleichung b = [Formel 1] . 360 [Formel 2] = 9,7 Zoll.

Die Verschiebung der Ketten auf den Rollen in C ergibt sich aus dem Unterschiede
der ursprünglichen Bogenlänge B C in II und dem verlängerten Bogen B E C oder B' C in
VIII und beträgt daher [Formel 3] oder sehr nahe [Formel 4] · p und weil
p = [Formel 5] · b, so ist die Verschiebung der Ketten auch = [Formel 6] · b.

Im obigen Beispiele war [Formel 7] und b = 9,7 Zoll. Für diesen Fall würde daher
die Verschiebung der Ketten [Formel 8] · 9,7 oder 4,2 Zoll betragen.

§. 431.

Wir wollen nunmehr zu der im vor. §. betrachteten und Fig. 11 dargestellten Brücke
Fig.
12.
eine vollkommen gleiche hinzufügen, wobei jedoch die mittlern an einander stossenden
Kettenende nicht befestigt, sondern die Ketten bloss zusammengehängt sind (wie in Fig. 12
C N C') und wollen die Grösse des Einsinkens untersuchen, wenn das mittlere Brückenfeld
C C' mit der zufälligen Last 2 Z oder jede Hälfte, wie C M oder C' M mit Z beschwert wird.
Durch die grössere Belastung des mittlern Brückenfeldes wird der mittlere Bogen C N C' sich
verlängern und das Brückenfeld herabsinken. Der herabgesenkte Bogen nehme die Gestalt
C n C' an, wobei sein Pfeil um die Grösse N n = p zunehme, also auf die Grösse M n = B + p
herabsinkt. Hiedurch werden nothwendig die beiden äussern Bögen C B und C' G, und zwar
jeder um dieselbe Grösse verkürzt und vollkommen auf gleiche Art gespannt und gehoben
werden. Wir wollen hier für die gespannten Bögen C B und C' G ähnliche Hülfsbögen
wie bei der einfachen Brücke des vorigen §. C B' und C' G' mit der Eigenschaft substi-
tuiren, dass sie mit den zugehörigen gespannten Bögen gleiche Belastung, gleiche Längen
und gleiche horizontale Spannkraft besitzen, und die Erhöhung ihrer Scheitel B B' = q
und G G' = q', also ihre Pfeile A B' = B -- q und F G' = B -- q' setzen.

Bei den Untersuchungen der Kraftanstrengungen in dem Punkte C kommt aber von der
einen Seite nur der herabgedrückte Bogen C n und von der andern Seite der substituirte
Hülfsbogen C B' in Betrachtung. Vergleichen wir also die Brückenhälfte A M mit der
§. 430 Fig. 11 betrachteten Brücke, so stehen offenbar die Bögen C B' und C n des gegen-
wärtigen Falles gegeneinander genau in denselben Beziehungen wie die Bögen C G' und
C B' des früher betrachteten Falles. Es gilt also die dort geführte Rechnung auch für
die Brückenhälfte A M, und wir erhalten also auch hier, wie dort zunächst p = q.

Die zweite Brückenhälfte M F ist aber in Bezug auf die Wirkungen mit der ersten A M
identisch, daher sind auch hier die Resultate dieselben, und wir erhalten aus denselben
Gründen, wie §. 430, p = q'.

Es ist sonach p = q = q', d. h. das wirkliche Einsinken p des mittlern
Bogens ist gleich dem Aufsteigen q oder q' eines jeden der äussern
Hülfsbögen
.

§. 432.

In dem Ausdrucke für das Einsinken des mittlern Brückenfeldes durch die zufällige
Belastung 2 Z zeigt das erste Glied [Formel 9] , dass das Verhältniss des Einsin-

Aufsteigen und Einsinken zusammenhängender Bögen.
Fig.
11.
Tab.
20.
geben das Einsinken des mehr belasteten Brückenfeldes nach der unten gefundenen letz-
ten Gleichung b = [Formel 1] . 360 [Formel 2] = 9,7 Zoll.

Die Verschiebung der Ketten auf den Rollen in C ergibt sich aus dem Unterschiede
der ursprünglichen Bogenlänge B C in II und dem verlängerten Bogen B E C oder B' C in
VIII und beträgt daher [Formel 3] oder sehr nahe [Formel 4] · p und weil
p = [Formel 5] · b, so ist die Verschiebung der Ketten auch = [Formel 6] · b.

Im obigen Beispiele war [Formel 7] und b = 9,7 Zoll. Für diesen Fall würde daher
die Verschiebung der Ketten [Formel 8] · 9,7 oder 4,2 Zoll betragen.

§. 431.

Wir wollen nunmehr zu der im vor. §. betrachteten und Fig. 11 dargestellten Brücke
Fig.
12.
eine vollkommen gleiche hinzufügen, wobei jedoch die mittlern an einander stossenden
Kettenende nicht befestigt, sondern die Ketten bloss zusammengehängt sind (wie in Fig. 12
C N C') und wollen die Grösse des Einsinkens untersuchen, wenn das mittlere Brückenfeld
C C' mit der zufälligen Last 2 Z oder jede Hälfte, wie C M oder C' M mit Z beschwert wird.
Durch die grössere Belastung des mittlern Brückenfeldes wird der mittlere Bogen C N C' sich
verlängern und das Brückenfeld herabsinken. Der herabgesenkte Bogen nehme die Gestalt
C n C' an, wobei sein Pfeil um die Grösse N n = p zunehme, also auf die Grösse M n = B + p
herabsinkt. Hiedurch werden nothwendig die beiden äussern Bögen C B und C' G, und zwar
jeder um dieselbe Grösse verkürzt und vollkommen auf gleiche Art gespannt und gehoben
werden. Wir wollen hier für die gespannten Bögen C B und C' G ähnliche Hülfsbögen
wie bei der einfachen Brücke des vorigen §. C B' und C' G' mit der Eigenschaft substi-
tuiren, dass sie mit den zugehörigen gespannten Bögen gleiche Belastung, gleiche Längen
und gleiche horizontale Spannkraft besitzen, und die Erhöhung ihrer Scheitel B B' = q
und G G' = q', also ihre Pfeile A B' = B — q und F G' = B — q' setzen.

Bei den Untersuchungen der Kraftanstrengungen in dem Punkte C kommt aber von der
einen Seite nur der herabgedrückte Bogen C n und von der andern Seite der substituirte
Hülfsbogen C B' in Betrachtung. Vergleichen wir also die Brückenhälfte A M mit der
§. 430 Fig. 11 betrachteten Brücke, so stehen offenbar die Bögen C B' und C n des gegen-
wärtigen Falles gegeneinander genau in denselben Beziehungen wie die Bögen C G' und
C B' des früher betrachteten Falles. Es gilt also die dort geführte Rechnung auch für
die Brückenhälfte A M, und wir erhalten also auch hier, wie dort zunächst p = q.

Die zweite Brückenhälfte M F ist aber in Bezug auf die Wirkungen mit der ersten A M
identisch, daher sind auch hier die Resultate dieselben, und wir erhalten aus denselben
Gründen, wie §. 430, p = q'.

Es ist sonach p = q = q', d. h. das wirkliche Einsinken p des mittlern
Bogens ist gleich dem Aufsteigen q oder q' eines jeden der äussern
Hülfsbögen
.

§. 432.

In dem Ausdrucke für das Einsinken des mittlern Brückenfeldes durch die zufällige
Belastung 2 Z zeigt das erste Glied [Formel 9] , dass das Verhältniss des Einsin-

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[484/0516] Aufsteigen und Einsinken zusammenhängender Bögen. geben das Einsinken des mehr belasteten Brückenfeldes nach der unten gefundenen letz- ten Gleichung b = [FORMEL]. 360 [FORMEL] = 9,7 Zoll. Fig. 11. Tab. 20. Die Verschiebung der Ketten auf den Rollen in C ergibt sich aus dem Unterschiede der ursprünglichen Bogenlänge B C in II und dem verlängerten Bogen B E C oder B' C in VIII und beträgt daher [FORMEL] oder sehr nahe [FORMEL] · p und weil p = [FORMEL] · b, so ist die Verschiebung der Ketten auch = [FORMEL] · b. Im obigen Beispiele war [FORMEL] und b = 9,7 Zoll. Für diesen Fall würde daher die Verschiebung der Ketten [FORMEL] · 9,7 oder 4,2 Zoll betragen. §. 431. Wir wollen nunmehr zu der im vor. §. betrachteten und Fig. 11 dargestellten Brücke eine vollkommen gleiche hinzufügen, wobei jedoch die mittlern an einander stossenden Kettenende nicht befestigt, sondern die Ketten bloss zusammengehängt sind (wie in Fig. 12 C N C') und wollen die Grösse des Einsinkens untersuchen, wenn das mittlere Brückenfeld C C' mit der zufälligen Last 2 Z oder jede Hälfte, wie C M oder C' M mit Z beschwert wird. Durch die grössere Belastung des mittlern Brückenfeldes wird der mittlere Bogen C N C' sich verlängern und das Brückenfeld herabsinken. Der herabgesenkte Bogen nehme die Gestalt C n C' an, wobei sein Pfeil um die Grösse N n = p zunehme, also auf die Grösse M n = B + p herabsinkt. Hiedurch werden nothwendig die beiden äussern Bögen C B und C' G, und zwar jeder um dieselbe Grösse verkürzt und vollkommen auf gleiche Art gespannt und gehoben werden. Wir wollen hier für die gespannten Bögen C B und C' G ähnliche Hülfsbögen wie bei der einfachen Brücke des vorigen §. C B' und C' G' mit der Eigenschaft substi- tuiren, dass sie mit den zugehörigen gespannten Bögen gleiche Belastung, gleiche Längen und gleiche horizontale Spannkraft besitzen, und die Erhöhung ihrer Scheitel B B' = q und G G' = q', also ihre Pfeile A B' = B — q und F G' = B — q' setzen. Fig. 12. Bei den Untersuchungen der Kraftanstrengungen in dem Punkte C kommt aber von der einen Seite nur der herabgedrückte Bogen C n und von der andern Seite der substituirte Hülfsbogen C B' in Betrachtung. Vergleichen wir also die Brückenhälfte A M mit der §. 430 Fig. 11 betrachteten Brücke, so stehen offenbar die Bögen C B' und C n des gegen- wärtigen Falles gegeneinander genau in denselben Beziehungen wie die Bögen C G' und C B' des früher betrachteten Falles. Es gilt also die dort geführte Rechnung auch für die Brückenhälfte A M, und wir erhalten also auch hier, wie dort zunächst p = q. Die zweite Brückenhälfte M F ist aber in Bezug auf die Wirkungen mit der ersten A M identisch, daher sind auch hier die Resultate dieselben, und wir erhalten aus denselben Gründen, wie §. 430, p = q'. Es ist sonach p = q = q', d. h. das wirkliche Einsinken p des mittlern Bogens ist gleich dem Aufsteigen q oder q' eines jeden der äussern Hülfsbögen. §. 432. In dem Ausdrucke für das Einsinken des mittlern Brückenfeldes durch die zufällige Belastung 2 Z zeigt das erste Glied [FORMEL], dass das Verhältniss des Einsin-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 484. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/516>, abgerufen am 21.09.2020.