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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Aufsteigen und Einsinken zusammenhängender Bögen.
B = 30 Fuss = 360 Zolle, das Gewicht der Brücke sammt Ketten für jeden Kurrent-
Fuss = 25 Ztr., also P = 5000 Ztr.; die zufällige Belastung oder die Uiberwucht des er-

Fig.
11.
Tab.
20.
zen, der durch die zufällige Belastung geänderte horizontale Zug in C = [Formel 1] (III).
Wird auf gleiche Art in der Gleichung II, B + b statt B und A -- e statt A geschrieben, so ist die Länge des
Bogens E C = A -- e + [Formel 2] , und eben so findet man die Länge des Bogens B E = e + [Formel 3] ,
wenn e in der Gleichung II statt A, und b statt B gesetzt wird. Es ist demnach die Länge des geän-
derten Bogens B E C = B E + E C = A + [Formel 4] (IV.)
Es sey nun von der andern Seite C w G der durch die Belastung Z des erstern Brückenfeldes
gespannte Bogen, so wird dieser abermal ein Theil einer Parabel C G K seyn, welche ihren Schei-
tel in K hat. Die Entfernung der beiden Scheitel F J sey = E und die Tiefe des neuen Scheitels K
unter dem ersten G sey = b, also der Pfeil der neuen Parabel J K = F G + b = B + b. Da der Bogen
C G mit dem Gewichte P belastet ist, so können wir auf gleiche Art wie zuvor die Belastung des
Bogens C K nach der Proportion C F : C J = A : A + E berechnen; folglich den senkrechten Druck,
welcher bei C durch den gespannten Bogen bewirkt wird = P [Formel 5] setzen. Hiernach ergibt sich
nach der Gleichung I für den gehobenen Bogen der horizontale Zug in C = [Formel 6] (V). Analog er-
gibt sich auch für den gespannten Bogen C K nach der Gleichung II die Länge des Bogens
C K = A + E + [Formel 7] , und eben so die Länge des Bogens G K = E + [Formel 8] , folglich die
Länge des gespannten Bogens C w G = C K -- G K = A + [Formel 9] (VI).
Um die weitern Rechnungen noch mehr abzukürzen, wollen wir statt der geänderten Brückenbö-
gen zwei andere Hülfsbögen substituiren, die mit den ursprünglichen gleiche
Spannweite und gleiche Belastung
, und mit den geänderten gleiche horizon-
tale Spannung und gleiche Bogenlänge
besitzen, damit auf solche Art an den Beding-
nissen des gleichen horizontalen Druckes und der gleichen Länge der Bögen nichts geändert werde.
Es sey daher C B' der Hülfsbogen, welcher statt des herabgedrückten B E C substituirt werden kann
und C G' der Hülfsbogen, der mit dem gespannten C w G gleichbedeutend ist.
Der Scheitel des ersten Hülfsbogens C B' sey in B' auf der Entfernung B B' = p unter B, also
sein Pfeil A B' = B + p, und der Scheitel des zweiten Hülfsbogens C G' befinde sich über G auf
der Höhe G G' = q, daher sein Pfeil B -- q. Analog mit der Gleichung I findet man für den Hülfs-
bogen C B' die horizontale Spannung = [Formel 10] (VII), welche demnach = (P + Z) [Formel 11]
seyn muss. Werden nun in dieser Gleichung beide Glieder mit [Formel 12] multiplizirt, so ist [Formel 13] ,
und wenn man [Formel 14] , [Formel 15] und [Formel 16] als sehr kleine Grössen behandelt, von welchen die zwei-
ten und höhern Potenzen vernachlässigt werden können, so erhält man
1 -- [Formel 17] = 1 -- [Formel 18] , sonach [Formel 19] . Auf gleiche Art findet man nach der Gleichung II
die Länge des Bogens C B' = A + [Formel 20] (VIII), welche = A + [Formel 21] aus IV seyn
muss. Wird diese Gleichung abgekürzt und mit [Formel 22] multiplizirt, so findet man
[Formel 23] oder auch sehr nahe
[Formel 24] , woraus auch 2 [Formel 25] folgt.
Wird in der letzten Gleichung für [Formel 26] der oben gefundene Werth gesetzt, so erhält sie die

Aufsteigen und Einsinken zusammenhängender Bögen.
B = 30 Fuss = 360 Zolle, das Gewicht der Brücke sammt Ketten für jeden Kurrent-
Fuss = 25 Ztr., also P = 5000 Ztr.; die zufällige Belastung oder die Uiberwucht des er-

Fig.
11.
Tab.
20.
zen, der durch die zufällige Belastung geänderte horizontale Zug in C = [Formel 1] (III).
Wird auf gleiche Art in der Gleichung II, B + b statt B und A — e statt A geschrieben, so ist die Länge des
Bogens E C = A — e + [Formel 2] , und eben so findet man die Länge des Bogens B E = e + [Formel 3] ,
wenn e in der Gleichung II statt A, und b statt B gesetzt wird. Es ist demnach die Länge des geän-
derten Bogens B E C = B E + E C = A + [Formel 4] (IV.)
Es sey nun von der andern Seite C w G der durch die Belastung Z des erstern Brückenfeldes
gespannte Bogen, so wird dieser abermal ein Theil einer Parabel C G K seyn, welche ihren Schei-
tel in K hat. Die Entfernung der beiden Scheitel F J sey = E und die Tiefe des neuen Scheitels K
unter dem ersten G sey = β, also der Pfeil der neuen Parabel J K = F G + β = B + β. Da der Bogen
C G mit dem Gewichte P belastet ist, so können wir auf gleiche Art wie zuvor die Belastung des
Bogens C K nach der Proportion C F : C J = A : A + E berechnen; folglich den senkrechten Druck,
welcher bei C durch den gespannten Bogen bewirkt wird = P [Formel 5] setzen. Hiernach ergibt sich
nach der Gleichung I für den gehobenen Bogen der horizontale Zug in C = [Formel 6] (V). Analog er-
gibt sich auch für den gespannten Bogen C K nach der Gleichung II die Länge des Bogens
C K = A + E + [Formel 7] , und eben so die Länge des Bogens G K = E + [Formel 8] , folglich die
Länge des gespannten Bogens C w G = C K — G K = A + [Formel 9] (VI).
Um die weitern Rechnungen noch mehr abzukürzen, wollen wir statt der geänderten Brückenbö-
gen zwei andere Hülfsbögen substituiren, die mit den ursprünglichen gleiche
Spannweite und gleiche Belastung
, und mit den geänderten gleiche horizon-
tale Spannung und gleiche Bogenlänge
besitzen, damit auf solche Art an den Beding-
nissen des gleichen horizontalen Druckes und der gleichen Länge der Bögen nichts geändert werde.
Es sey daher C B' der Hülfsbogen, welcher statt des herabgedrückten B E C substituirt werden kann
und C G' der Hülfsbogen, der mit dem gespannten C w G gleichbedeutend ist.
Der Scheitel des ersten Hülfsbogens C B' sey in B' auf der Entfernung B B' = p unter B, also
sein Pfeil A B' = B + p, und der Scheitel des zweiten Hülfsbogens C G' befinde sich über G auf
der Höhe G G' = q, daher sein Pfeil B — q. Analog mit der Gleichung I findet man für den Hülfs-
bogen C B' die horizontale Spannung = [Formel 10] (VII), welche demnach = (P + Z) [Formel 11]
seyn muss. Werden nun in dieser Gleichung beide Glieder mit [Formel 12] multiplizirt, so ist [Formel 13] ,
und wenn man [Formel 14] , [Formel 15] und [Formel 16] als sehr kleine Grössen behandelt, von welchen die zwei-
ten und höhern Potenzen vernachlässigt werden können, so erhält man
1 — [Formel 17] = 1 — [Formel 18] , sonach [Formel 19] . Auf gleiche Art findet man nach der Gleichung II
die Länge des Bogens C B' = A + [Formel 20] (VIII), welche = A + [Formel 21] aus IV seyn
muss. Wird diese Gleichung abgekürzt und mit [Formel 22] multiplizirt, so findet man
[Formel 23] oder auch sehr nahe
[Formel 24] , woraus auch 2 [Formel 25] folgt.
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[482/0514] Aufsteigen und Einsinken zusammenhängender Bögen. B = 30 Fuss = 360 Zolle, das Gewicht der Brücke sammt Ketten für jeden Kurrent- Fuss = 25 Ztr., also P = 5000 Ztr.; die zufällige Belastung oder die Uiberwucht des er- *) *) zen, der durch die zufällige Belastung geänderte horizontale Zug in C = [FORMEL] (III). Wird auf gleiche Art in der Gleichung II, B + b statt B und A — e statt A geschrieben, so ist die Länge des Bogens E C = A — e + [FORMEL], und eben so findet man die Länge des Bogens B E = e + [FORMEL], wenn e in der Gleichung II statt A, und b statt B gesetzt wird. Es ist demnach die Länge des geän- derten Bogens B E C = B E + E C = A + [FORMEL] (IV.) Es sey nun von der andern Seite C w G der durch die Belastung Z des erstern Brückenfeldes gespannte Bogen, so wird dieser abermal ein Theil einer Parabel C G K seyn, welche ihren Schei- tel in K hat. Die Entfernung der beiden Scheitel F J sey = E und die Tiefe des neuen Scheitels K unter dem ersten G sey = β, also der Pfeil der neuen Parabel J K = F G + β = B + β. Da der Bogen C G mit dem Gewichte P belastet ist, so können wir auf gleiche Art wie zuvor die Belastung des Bogens C K nach der Proportion C F : C J = A : A + E berechnen; folglich den senkrechten Druck, welcher bei C durch den gespannten Bogen bewirkt wird = P [FORMEL] setzen. Hiernach ergibt sich nach der Gleichung I für den gehobenen Bogen der horizontale Zug in C = [FORMEL] (V). Analog er- gibt sich auch für den gespannten Bogen C K nach der Gleichung II die Länge des Bogens C K = A + E + [FORMEL], und eben so die Länge des Bogens G K = E + [FORMEL], folglich die Länge des gespannten Bogens C w G = C K — G K = A + [FORMEL] (VI). Um die weitern Rechnungen noch mehr abzukürzen, wollen wir statt der geänderten Brückenbö- gen zwei andere Hülfsbögen substituiren, die mit den ursprünglichen gleiche Spannweite und gleiche Belastung, und mit den geänderten gleiche horizon- tale Spannung und gleiche Bogenlänge besitzen, damit auf solche Art an den Beding- nissen des gleichen horizontalen Druckes und der gleichen Länge der Bögen nichts geändert werde. Es sey daher C B' der Hülfsbogen, welcher statt des herabgedrückten B E C substituirt werden kann und C G' der Hülfsbogen, der mit dem gespannten C w G gleichbedeutend ist. Der Scheitel des ersten Hülfsbogens C B' sey in B' auf der Entfernung B B' = p unter B, also sein Pfeil A B' = B + p, und der Scheitel des zweiten Hülfsbogens C G' befinde sich über G auf der Höhe G G' = q, daher sein Pfeil B — q. Analog mit der Gleichung I findet man für den Hülfs- bogen C B' die horizontale Spannung = [FORMEL] (VII), welche demnach = (P + Z) [FORMEL] seyn muss. Werden nun in dieser Gleichung beide Glieder mit [FORMEL] multiplizirt, so ist [FORMEL], und wenn man [FORMEL], [FORMEL] und [FORMEL] als sehr kleine Grössen behandelt, von welchen die zwei- ten und höhern Potenzen vernachlässigt werden können, so erhält man 1 — [FORMEL] = 1 — [FORMEL], sonach [FORMEL]. Auf gleiche Art findet man nach der Gleichung II die Länge des Bogens C B' = A + [FORMEL] (VIII), welche = A + [FORMEL] aus IV seyn muss. Wird diese Gleichung abgekürzt und mit [FORMEL] multiplizirt, so findet man [FORMEL] oder auch sehr nahe [FORMEL], woraus auch 2 [FORMEL] folgt. Wird in der letzten Gleichung für [FORMEL] der oben gefundene Werth gesetzt, so erhält sie die

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 482. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/514>, abgerufen am 20.09.2020.