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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Stützlinie für elyptische Kuppelgewölbe.
ist die Annahme zum Grunde gelegt, dass das elyptische Kuppelgewölbe von dem Schei-
tel bis zu dem Winkel v = 45 Grad so belastet wird, wie es das Gleichgewicht erfor-
dert und dass von 45 Grad abwärts die weitere Unterstützung in einer angemessenen Stütz-
linie mit Beibehaltung der elyptischen Form gesucht werden müsse.

Fig.
3.
Tab.
20.
Aus der ersten Gleichung (b + 1/2 b) Sin ph = b . Sin v folgt Sin2 ph = [Formel 1] oder
1--Cos2ph = [Formel 2] (1 -- Cos2v); daraus ergibt sich weiter
(b + 1/2 b)2 Cos2 ph = b2. Cos2 v + (b + 1/2 b) -- b2 = b2. Cos2 v + b . b + 1/4 b2 und wenn man die höhern Po-
tenzen von [Formel 3] vernachlässigt (b + 1/2 b) Cos ph = b . Cos v + [Formel 4] = R'' G.
Nun ist aber M'' G : R'' G = a + 1/2 a : b + 1/2 b, daher
[Formel 5] Auf gleiche Art findet man
auch, wenn -- b statt + b und -- a statt + a gesetzt wird, M' G = [Formel 6]
und wenn von M'' G die Grösse M' G abgezogen wird, so bleibt
[Formel 7] ,
wenn nämlich die höhern Potenzen von [Formel 8] und [Formel 9] vernachlässigt werden.
Die Breite der Fläche M'' M' m' m'' ist n o = d . N P = b . d v . Cos v, demnach die Fläche
M'' M' m' m'' = a . b . dv [Formel 10] Wird nun diese Fläche noch mit der
Tiefe w . b . Sin v multiplicirt, so ergibt sich der kubische Inhalt dieses Elementes
w . a . b2 . d v . Sin v [Formel 11]
Bevor wir diese Gleichung integriren, ist zu bemerken, dass das Gleichgewicht der Knppelge-
wölbe bis zu einem Winkel v = 45 Grad durch eine entsprechende Belastung herzustellen ist.
Wir haben zu dieser Absicht in der obigen Note bereits den Kubik-Inhalt des elyptischen Ge-
wölbes sammt seiner Belastung = 1/4 w . b2 . f . tang v gefunden. Setzen wir nun den Winkel
v = 45 Grad, so ist tang v = 1, folglich der Kubik-Inhalt des Kuppelgewölbes 1/4 w . b2 . f. Für
denselben Punkt ist der horizontale Druck [Formel 12] ; demnach ist die Taugente des Stellungs-
winkels in diesem Punkte = [Formel 13] . Von diesem Punkte aus haben wir nun die Gleichung für
die Stützlinie und den Stellungswinkel
aufzusuchen.
Zu diesem Zwecke dient die oben gefundene Differenzialgleichung, vermöge welcher der Kubik-
Inhalt des elyptischen Gewölbbogens = [Formel 14] w . a . b2 . d v . Sin v [Formel 15] , wel-
ches nun so integrirt werden muss, dass es bei v = 45 Grad verschwindet. Daraus ergibt sich für
die Bestimmung des Gewichtes der kubische Inhalt vom Scheitel bis zum Winkel v
= 1/4 w . b2 . f + w . a . b2 [Formel 16]
Da nun der horizontale Druck = [Formel 17] ist, so ergibt sich aus der Division des senkrechten
Drucks mit dem horizontalen für den Stellungswinkel l die Gleichung
tang [Formel 18] (I).

Stützlinie für elyptische Kuppelgewölbe.
ist die Annahme zum Grunde gelegt, dass das elyptische Kuppelgewölbe von dem Schei-
tel bis zu dem Winkel v = 45 Grad so belastet wird, wie es das Gleichgewicht erfor-
dert und dass von 45 Grad abwärts die weitere Unterstützung in einer angemessenen Stütz-
linie mit Beibehaltung der elyptischen Form gesucht werden müsse.

Fig.
3.
Tab.
20.
Aus der ersten Gleichung (b + ½ β) Sin φ = b . Sin v folgt Sin2 φ = [Formel 1] oder
1—Cos2φ = [Formel 2] (1 — Cos2v); daraus ergibt sich weiter
(b + ½ β)2 Cos2 φ = b2. Cos2 v + (b + ½ β) — b2 = b2. Cos2 v + b . β + ¼ β2 und wenn man die höhern Po-
tenzen von [Formel 3] vernachlässigt (b + ½ β) Cos φ = b . Cos v + [Formel 4] = R'' G.
Nun ist aber M'' G : R'' G = a + ½ α : b + ½ β, daher
[Formel 5] Auf gleiche Art findet man
auch, wenn — β statt + β und — α statt + α gesetzt wird, M' G = [Formel 6]
und wenn von M'' G die Grösse M' G abgezogen wird, so bleibt
[Formel 7] ,
wenn nämlich die höhern Potenzen von [Formel 8] und [Formel 9] vernachlässigt werden.
Die Breite der Fläche M'' M' m' m'' ist n o = d . N P = b . d v . Cos v, demnach die Fläche
M'' M' m' m'' = a . b . dv [Formel 10] Wird nun diese Fläche noch mit der
Tiefe w . b . Sin v multiplicirt, so ergibt sich der kubische Inhalt dieses Elementes
w . a . b2 . d v . Sin v [Formel 11]
Bevor wir diese Gleichung integriren, ist zu bemerken, dass das Gleichgewicht der Knppelge-
wölbe bis zu einem Winkel v = 45 Grad durch eine entsprechende Belastung herzustellen ist.
Wir haben zu dieser Absicht in der obigen Note bereits den Kubik-Inhalt des elyptischen Ge-
wölbes sammt seiner Belastung = ¼ w . b2 . f . tang v gefunden. Setzen wir nun den Winkel
v = 45 Grad, so ist tang v = 1, folglich der Kubik-Inhalt des Kuppelgewölbes ¼ w . b2 . f. Für
denselben Punkt ist der horizontale Druck [Formel 12] ; demnach ist die Taugente des Stellungs-
winkels in diesem Punkte = [Formel 13] . Von diesem Punkte aus haben wir nun die Gleichung für
die Stützlinie und den Stellungswinkel
aufzusuchen.
Zu diesem Zwecke dient die oben gefundene Differenzialgleichung, vermöge welcher der Kubik-
Inhalt des elyptischen Gewölbbogens = [Formel 14] w . a . b2 . d v . Sin v [Formel 15] , wel-
ches nun so integrirt werden muss, dass es bei v = 45 Grad verschwindet. Daraus ergibt sich für
die Bestimmung des Gewichtes der kubische Inhalt vom Scheitel bis zum Winkel v
= ¼ w . b2 . f + w . a . b2 [Formel 16]
Da nun der horizontale Druck = [Formel 17] ist, so ergibt sich aus der Division des senkrechten
Drucks mit dem horizontalen für den Stellungswinkel λ die Gleichung
tang [Formel 18] (I).
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[440/0470] Stützlinie für elyptische Kuppelgewölbe. ist die Annahme zum Grunde gelegt, dass das elyptische Kuppelgewölbe von dem Schei- tel bis zu dem Winkel v = 45 Grad so belastet wird, wie es das Gleichgewicht erfor- dert und dass von 45 Grad abwärts die weitere Unterstützung in einer angemessenen Stütz- linie mit Beibehaltung der elyptischen Form gesucht werden müsse. **) **) Aus der ersten Gleichung (b + ½ β) Sin φ = b . Sin v folgt Sin2 φ = [FORMEL] oder 1—Cos2φ = [FORMEL] (1 — Cos2v); daraus ergibt sich weiter (b + ½ β)2 Cos2 φ = b2. Cos2 v + (b + ½ β) — b2 = b2. Cos2 v + b . β + ¼ β2 und wenn man die höhern Po- tenzen von [FORMEL] vernachlässigt (b + ½ β) Cos φ = b . Cos v + [FORMEL] = R'' G. Nun ist aber M'' G : R'' G = a + ½ α : b + ½ β, daher [FORMEL] Auf gleiche Art findet man auch, wenn — β statt + β und — α statt + α gesetzt wird, M' G = [FORMEL] und wenn von M'' G die Grösse M' G abgezogen wird, so bleibt [FORMEL], wenn nämlich die höhern Potenzen von [FORMEL] und [FORMEL] vernachlässigt werden. Die Breite der Fläche M'' M' m' m'' ist n o = d . N P = b . d v . Cos v, demnach die Fläche M'' M' m' m'' = a . b . dv [FORMEL] Wird nun diese Fläche noch mit der Tiefe w . b . Sin v multiplicirt, so ergibt sich der kubische Inhalt dieses Elementes w . a . b2 . d v . Sin v [FORMEL] Bevor wir diese Gleichung integriren, ist zu bemerken, dass das Gleichgewicht der Knppelge- wölbe bis zu einem Winkel v = 45 Grad durch eine entsprechende Belastung herzustellen ist. Wir haben zu dieser Absicht in der obigen Note bereits den Kubik-Inhalt des elyptischen Ge- wölbes sammt seiner Belastung = ¼ w . b2 . f . tang v gefunden. Setzen wir nun den Winkel v = 45 Grad, so ist tang v = 1, folglich der Kubik-Inhalt des Kuppelgewölbes ¼ w . b2 . f. Für denselben Punkt ist der horizontale Druck [FORMEL]; demnach ist die Taugente des Stellungs- winkels in diesem Punkte = [FORMEL]. Von diesem Punkte aus haben wir nun die Gleichung für die Stützlinie und den Stellungswinkel aufzusuchen. Zu diesem Zwecke dient die oben gefundene Differenzialgleichung, vermöge welcher der Kubik- Inhalt des elyptischen Gewölbbogens = [FORMEL] w . a . b2 . d v . Sin v [FORMEL], wel- ches nun so integrirt werden muss, dass es bei v = 45 Grad verschwindet. Daraus ergibt sich für die Bestimmung des Gewichtes der kubische Inhalt vom Scheitel bis zum Winkel v = ¼ w . b2 . f + w . a . b2 [FORMEL] Da nun der horizontale Druck = [FORMEL] ist, so ergibt sich aus der Division des senkrechten Drucks mit dem horizontalen für den Stellungswinkel λ die Gleichung tang [FORMEL] (I).

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 440. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/470>, abgerufen am 24.09.2020.