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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Stützlinie für elyptische Kuppelgewölbe.
erfordere, als die gleichförmige Dicke des Gewölbes allein zu geben im Stande ist. Die
Ursache hievon ist, weil oben beim Scheitel die Rippen zu schmal werden, und nur in ei-
nen Punkt zusammen laufen, demnach dem übrigen Theile der Rippen das Gleichgewicht
zu halten nicht im Stande sind. In der Nähe der Widerlagen aber ist die beinahe senk-
rechte Stellung der Gewölbsteine nicht im Stande dem horizontalen Drucke der übrigen
das Gleichgewicht zu halten.

Dem erstern Umstande am Scheitel wird dadurch abgeholfen, dass das gesammte Ge-
wicht, womit das Kuppelgewölbe bis zu einer bestimmten Entfernung vom Scheitel bela-
stet werden muss, eine bestimmte Grösse erhält. *) Dieses Gewicht wird nach der un-
ten angeführten höhern Rechnung bestimmt, und man sieht von selbst, dass den Later-
nen
, welche zur innern Beleuchtung in der Mitte der Kuppelgewölbe aufgesetzt zu wer-
den pflegen, dieses nothwendige Gewicht ohne Anstand gegeben werden könne.

Dem zweiten Umstande kann nicht anders als durch eine angemessene Stellung der
Gewölbsteine, oder durch eine entsprechende Stützlinie, welche innerhalb der
Masse des Gewölbes verborgen werden muss, abgeholfen werden.

§. 388.

Die Bestimmung der Stützlinie für ein freies elyptisches Kuppelge-
wölbe
kann nur durch höhere Rechnung aufgefunden werden. **) Bei dieser Rechnung

*) Wir haben nämlich die Gleichung [Formel 1] z . w . b2 . d v . Sin v . Cos v = Q . [Formel 2] . tang v, und wenn wir stattFig.
2.
Tab.
20.

Q den obigen Werth setzen, so ist das Gewicht des Gewölbetheiles vom Scheitel anzufangen, bis zu
dem Winkel v für eine Rippe = [Formel 3] und für alle Rippen zusammen
[Formel 4] . Weil aber die mit dem Halbmesser b . Sin v beschriebene Kreisfläche
= p . (b . Sin v)2 ist, so wird das einzusetzende Gewölbstück den kubischen Inhalt
p . (b . Sin v)2. [Formel 5] = p . (b . Sin v)2 · [Formel 6] haben.
**) Wir wollen zu diesem Behufe vorläufig nur die Querschnittsfläche des elyptischen Bogens betrachten.Fig.
3.

Es sey für das elyptische Gewölbe Fig. 3, A M D derjenige Bogen, welcher durch die Mitte aller
Gewölbsteine geht; A'' M'' D'' sey der äussere, und A' M' D' der innere elyptische Gewölbbogen.
Die Stützlinie des Gewölbes sey B N U, die Höhe des mittlern elyptischen Gewölbbogens A C = a
und die halbe Spannweite desselben mittlern elyptischen Bogens sey C D = b.
Setzen wir die Höhe der Gewölbsteine A' A'' = a und D' D'' = b = F' F'', so ist die Höhe des
äusseren Bogens A'' C = a + 1/2 a, und des innern A' C = a -- 1/2 a. Auf gleiche Art ist die
Weite des äussern elyptischen Bogens C D'' = b + 1/2 b und des innern C D' = b -- 1/2 b.
Man beschreibe mit dem Halbmesser C D = b den Kreisbogen F R D und eben so mit dem
Halbmesser b + 1/2 b den äussern, und mit b -- 1/2 b den innern Kreisbogen. Durch einen willkühr-
lichen Punkt M des elyptischen Bogens ziehe man die Senkrechte M'' G, verbinde die Durchschnitts-
punkte R, R', R'' der gezogenen Kreise mit dem Mittelpunkte C und setze die Winkel R C F = v,
und R'' C F = ph. Hiernach ist R T = M Q = N P = b . Sin v = (b + 1/2 b) Sin ph und
G R = b . Cos v, dann G R'' = (b + 1/2 b) Cos ph.

Stützlinie für elyptische Kuppelgewölbe.
erfordere, als die gleichförmige Dicke des Gewölbes allein zu geben im Stande ist. Die
Ursache hievon ist, weil oben beim Scheitel die Rippen zu schmal werden, und nur in ei-
nen Punkt zusammen laufen, demnach dem übrigen Theile der Rippen das Gleichgewicht
zu halten nicht im Stande sind. In der Nähe der Widerlagen aber ist die beinahe senk-
rechte Stellung der Gewölbsteine nicht im Stande dem horizontalen Drucke der übrigen
das Gleichgewicht zu halten.

Dem erstern Umstande am Scheitel wird dadurch abgeholfen, dass das gesammte Ge-
wicht, womit das Kuppelgewölbe bis zu einer bestimmten Entfernung vom Scheitel bela-
stet werden muss, eine bestimmte Grösse erhält. *) Dieses Gewicht wird nach der un-
ten angeführten höhern Rechnung bestimmt, und man sieht von selbst, dass den Later-
nen
, welche zur innern Beleuchtung in der Mitte der Kuppelgewölbe aufgesetzt zu wer-
den pflegen, dieses nothwendige Gewicht ohne Anstand gegeben werden könne.

Dem zweiten Umstande kann nicht anders als durch eine angemessene Stellung der
Gewölbsteine, oder durch eine entsprechende Stützlinie, welche innerhalb der
Masse des Gewölbes verborgen werden muss, abgeholfen werden.

§. 388.

Die Bestimmung der Stützlinie für ein freies elyptisches Kuppelge-
wölbe
kann nur durch höhere Rechnung aufgefunden werden. **) Bei dieser Rechnung

*) Wir haben nämlich die Gleichung [Formel 1] z . w . b2 . d v . Sin v . Cos v = Q . [Formel 2] . tang v, und wenn wir stattFig.
2.
Tab.
20.

Q den obigen Werth setzen, so ist das Gewicht des Gewölbetheiles vom Scheitel anzufangen, bis zu
dem Winkel v für eine Rippe = [Formel 3] und für alle Rippen zusammen
[Formel 4] . Weil aber die mit dem Halbmesser b . Sin v beschriebene Kreisfläche
= π . (b . Sin v)2 ist, so wird das einzusetzende Gewölbstück den kubischen Inhalt
π . (b . Sin v)2. [Formel 5] = π . (b . Sin v)2 · [Formel 6] haben.
**) Wir wollen zu diesem Behufe vorläufig nur die Querschnittsfläche des elyptischen Bogens betrachten.Fig.
3.

Es sey für das elyptische Gewölbe Fig. 3, A M D derjenige Bogen, welcher durch die Mitte aller
Gewölbsteine geht; A'' M'' D'' sey der äussere, und A' M' D' der innere elyptische Gewölbbogen.
Die Stützlinie des Gewölbes sey B N U, die Höhe des mittlern elyptischen Gewölbbogens A C = a
und die halbe Spannweite desselben mittlern elyptischen Bogens sey C D = b.
Setzen wir die Höhe der Gewölbsteine A' A'' = α und D' D'' = β = F' F'', so ist die Höhe des
äusseren Bogens A'' C = a + ½ α, und des innern A' C = a — ½ α. Auf gleiche Art ist die
Weite des äussern elyptischen Bogens C D'' = b + ½ β und des innern C D' = b — ½ β.
Man beschreibe mit dem Halbmesser C D = b den Kreisbogen F R D und eben so mit dem
Halbmesser b + ½ β den äussern, und mit b — ½ β den innern Kreisbogen. Durch einen willkühr-
lichen Punkt M des elyptischen Bogens ziehe man die Senkrechte M'' G, verbinde die Durchschnitts-
punkte R, R', R'' der gezogenen Kreise mit dem Mittelpunkte C und setze die Winkel R C F = v,
und R'' C F = φ. Hiernach ist R T = M Q = N P = b . Sin v = (b + ½ β) Sin φ und
G R = b . Cos v, dann G R'' = (b + ½ β) Cos φ.
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[439/0469] Stützlinie für elyptische Kuppelgewölbe. erfordere, als die gleichförmige Dicke des Gewölbes allein zu geben im Stande ist. Die Ursache hievon ist, weil oben beim Scheitel die Rippen zu schmal werden, und nur in ei- nen Punkt zusammen laufen, demnach dem übrigen Theile der Rippen das Gleichgewicht zu halten nicht im Stande sind. In der Nähe der Widerlagen aber ist die beinahe senk- rechte Stellung der Gewölbsteine nicht im Stande dem horizontalen Drucke der übrigen das Gleichgewicht zu halten. Dem erstern Umstande am Scheitel wird dadurch abgeholfen, dass das gesammte Ge- wicht, womit das Kuppelgewölbe bis zu einer bestimmten Entfernung vom Scheitel bela- stet werden muss, eine bestimmte Grösse erhält. *) Dieses Gewicht wird nach der un- ten angeführten höhern Rechnung bestimmt, und man sieht von selbst, dass den Later- nen, welche zur innern Beleuchtung in der Mitte der Kuppelgewölbe aufgesetzt zu wer- den pflegen, dieses nothwendige Gewicht ohne Anstand gegeben werden könne. Dem zweiten Umstande kann nicht anders als durch eine angemessene Stellung der Gewölbsteine, oder durch eine entsprechende Stützlinie, welche innerhalb der Masse des Gewölbes verborgen werden muss, abgeholfen werden. §. 388. Die Bestimmung der Stützlinie für ein freies elyptisches Kuppelge- wölbe kann nur durch höhere Rechnung aufgefunden werden. **) Bei dieser Rechnung *) Wir haben nämlich die Gleichung [FORMEL] z . w . b2 . d v . Sin v . Cos v = Q . [FORMEL]. tang v, und wenn wir statt Q den obigen Werth setzen, so ist das Gewicht des Gewölbetheiles vom Scheitel anzufangen, bis zu dem Winkel v für eine Rippe = [FORMEL] und für alle Rippen zusammen [FORMEL]. Weil aber die mit dem Halbmesser b . Sin v beschriebene Kreisfläche = π . (b . Sin v)2 ist, so wird das einzusetzende Gewölbstück den kubischen Inhalt π . (b . Sin v)2. [FORMEL] = π . (b . Sin v)2 · [FORMEL] haben. **) Wir wollen zu diesem Behufe vorläufig nur die Querschnittsfläche des elyptischen Bogens betrachten. Es sey für das elyptische Gewölbe Fig. 3, A M D derjenige Bogen, welcher durch die Mitte aller Gewölbsteine geht; A'' M'' D'' sey der äussere, und A' M' D' der innere elyptische Gewölbbogen. Die Stützlinie des Gewölbes sey B N U, die Höhe des mittlern elyptischen Gewölbbogens A C = a und die halbe Spannweite desselben mittlern elyptischen Bogens sey C D = b. Setzen wir die Höhe der Gewölbsteine A' A'' = α und D' D'' = β = F' F'', so ist die Höhe des äusseren Bogens A'' C = a + ½ α, und des innern A' C = a — ½ α. Auf gleiche Art ist die Weite des äussern elyptischen Bogens C D'' = b + ½ β und des innern C D' = b — ½ β. Man beschreibe mit dem Halbmesser C D = b den Kreisbogen F R D und eben so mit dem Halbmesser b + ½ β den äussern, und mit b — ½ β den innern Kreisbogen. Durch einen willkühr- lichen Punkt M des elyptischen Bogens ziehe man die Senkrechte M'' G, verbinde die Durchschnitts- punkte R, R', R'' der gezogenen Kreise mit dem Mittelpunkte C und setze die Winkel R C F = v, und R'' C F = φ. Hiernach ist R T = M Q = N P = b . Sin v = (b + ½ β) Sin φ und G R = b . Cos v, dann G R'' = (b + ½ β) Cos φ.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 439. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/469>, abgerufen am 28.09.2020.