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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte.
Q O und R O gegeben sind, auch das Verhältniss der Grössen dieser drei Kräfte P, Q
und R für den Stand des Gleichgewichtes ableiten können.

§. 115.

Das Verhältniss der Kräfte P, Q und R, nach §. 113 durch die drei Seiten des Drei-Fig.
3.
Tab.
4.
eckes O N E bestimmt, kann auch aus den drei Seiten des Dreieckes o n e entnommen wer-
den, welches von den auf die Richtungen der drei Kräfte O P, O Q und O R winkelrecht
gezogenen Linien o n, n e und e o gebildet wird. Weil nämlich in der vierseitigen Figur
o z o y die Winkel z und y rechte Winkel sind, so ist o + R O P = 180°, und wegen der
geraden Linie E O R ist auch E O P + R O P = 180°, demnach o = E O P. Auf gleiche Art
wird gezeigt, dass e = M O E = O E N, und n = O N E sey. Da sonach wegen der Gleich-
heit aller drei Winkel die Dreiecke E O N und e o n einander ähnlich sind, so folgt auch
P : Q : R = Sin. O E N : Sin. E O N : Sin. O N E = Sin. e : Sin. o : Sin. n = o n : n e : e o;
oder jede von den drei Kräften P, Q und R ist derjenigen Seite des
oben genannten Dreieckes proportional, welche auf die Richtung
dieser Kraft winkelrecht gezogen ist.

Die letzte Methode gewähret vor der frühern den Vortheil, dass die verhältniss-
mässige Grösse einer jeden Kraft unmittelbar aus der Grösse der darauf winkelrechten
Linie beurtheilt werden kann, welches bei der Methode mittelst des Parallelogrammes
nur nach mehrern Vorbereitungen geschehen konnte.

§. 116.

Da überhaupt aus den Regeln der Geometrie und Trigonometrie bekannt ist, dass
in jedem Dreiecke, wenn von den drei Seiten und den drei Winkeln nur drei Stücke
bekannt sind, die übrigen durch Zeichnung oder durch Rechnung gefunden werden kön-
nen, so sind wir auch im Stande, für die Fälle, wenn entweder alle drei Kräfte oder nur
zwei Kräfte und ein Winkel u. s. w. gegeben sind, die übrigen Stücke, nämlich die Win-
kel, welche die Richtungen einschliessen, oder die dritte Kraft sammt den übrigen zwei
Winkeln u. s. w. zu bestimmen.

§. 117.

Eine praktische Uiberzeugung von der Richtigkeit dieses Satzes gibt folgende Vor-Fig.
4.
richtung. Eine kreisrunde Scheibe Fig. 4. wird an der Peripherie in 360 gleiche Theile
getheilt, und an dieselbe werden Rollen a, b, c angesteckt, die sich an der Peripherie
willkührlich verschieben lassen. Uiber diese werden Schnüre aufgelegt, welche an einem
Ende mit einander verbunden, am andern Ende aber mit Schlingen versehen sind, um
Gewichte daran zu hängen.

Werden diese Rollen von 120 zu 120 Graden aufgestellt, wodurch die Peripherie in
drei gleiche Theile getheilt wird, so wird man finden, dass durch drei gleiche Gewichte
sich der gemeinschaftliche Knoten der Schnüre über den Mittelpunkt der Scheibe stellt.
In diesem Falle wird nämlich das Dreieck N O E gleichseitig, und das Parallelogramm
eine Raute von 4 gleichen Seiten, wovon die Seiten N O und M O einen Winkel von 120
Graden einschliessen.

Stellt man die Rollen für P und Q auf eine Entfernung von 90 Graden, und nimmt
P = 8 Lb und Q = 6 Lb, so erhält das Dreieck O N E bei N einen rechten Winkel, dem-

Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte.
Q O und R O gegeben sind, auch das Verhältniss der Grössen dieser drei Kräfte P, Q
und R für den Stand des Gleichgewichtes ableiten können.

§. 115.

Das Verhältniss der Kräfte P, Q und R, nach §. 113 durch die drei Seiten des Drei-Fig.
3.
Tab.
4.
eckes O N E bestimmt, kann auch aus den drei Seiten des Dreieckes o n e entnommen wer-
den, welches von den auf die Richtungen der drei Kräfte O P, O Q und O R winkelrecht
gezogenen Linien o n, n e und e o gebildet wird. Weil nämlich in der vierseitigen Figur
o z o y die Winkel z und y rechte Winkel sind, so ist o + R O P = 180°, und wegen der
geraden Linie E O R ist auch E O P + R O P = 180°, demnach o = E O P. Auf gleiche Art
wird gezeigt, dass e = M O E = O E N, und n = O N E sey. Da sonach wegen der Gleich-
heit aller drei Winkel die Dreiecke E O N und e o n einander ähnlich sind, so folgt auch
P : Q : R = Sin. O E N : Sin. E O N : Sin. O N E = Sin. e : Sin. o : Sin. n = o n : n e : e o;
oder jede von den drei Kräften P, Q und R ist derjenigen Seite des
oben genannten Dreieckes proportional, welche auf die Richtung
dieser Kraft winkelrecht gezogen ist.

Die letzte Methode gewähret vor der frühern den Vortheil, dass die verhältniss-
mässige Grösse einer jeden Kraft unmittelbar aus der Grösse der darauf winkelrechten
Linie beurtheilt werden kann, welches bei der Methode mittelst des Parallelogrammes
nur nach mehrern Vorbereitungen geschehen konnte.

§. 116.

Da überhaupt aus den Regeln der Geometrie und Trigonometrie bekannt ist, dass
in jedem Dreiecke, wenn von den drei Seiten und den drei Winkeln nur drei Stücke
bekannt sind, die übrigen durch Zeichnung oder durch Rechnung gefunden werden kön-
nen, so sind wir auch im Stande, für die Fälle, wenn entweder alle drei Kräfte oder nur
zwei Kräfte und ein Winkel u. s. w. gegeben sind, die übrigen Stücke, nämlich die Win-
kel, welche die Richtungen einschliessen, oder die dritte Kraft sammt den übrigen zwei
Winkeln u. s. w. zu bestimmen.

§. 117.

Eine praktische Uiberzeugung von der Richtigkeit dieses Satzes gibt folgende Vor-Fig.
4.
richtung. Eine kreisrunde Scheibe Fig. 4. wird an der Peripherie in 360 gleiche Theile
getheilt, und an dieselbe werden Rollen a, b, c angesteckt, die sich an der Peripherie
willkührlich verschieben lassen. Uiber diese werden Schnüre aufgelegt, welche an einem
Ende mit einander verbunden, am andern Ende aber mit Schlingen versehen sind, um
Gewichte daran zu hängen.

Werden diese Rollen von 120 zu 120 Graden aufgestellt, wodurch die Peripherie in
drei gleiche Theile getheilt wird, so wird man finden, dass durch drei gleiche Gewichte
sich der gemeinschaftliche Knoten der Schnüre über den Mittelpunkt der Scheibe stellt.
In diesem Falle wird nämlich das Dreieck N O E gleichseitig, und das Parallelogramm
eine Raute von 4 gleichen Seiten, wovon die Seiten N O und M O einen Winkel von 120
Graden einschliessen.

Stellt man die Rollen für P und Q auf eine Entfernung von 90 Graden, und nimmt
P = 8 ℔ und Q = 6 ℔, so erhält das Dreieck O N E bei N einen rechten Winkel, dem-

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[127/0157] Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte. Q O und R O gegeben sind, auch das Verhältniss der Grössen dieser drei Kräfte P, Q und R für den Stand des Gleichgewichtes ableiten können. §. 115. Das Verhältniss der Kräfte P, Q und R, nach §. 113 durch die drei Seiten des Drei- eckes O N E bestimmt, kann auch aus den drei Seiten des Dreieckes o n e entnommen wer- den, welches von den auf die Richtungen der drei Kräfte O P, O Q und O R winkelrecht gezogenen Linien o n, n e und e o gebildet wird. Weil nämlich in der vierseitigen Figur o z o y die Winkel z und y rechte Winkel sind, so ist o + R O P = 180°, und wegen der geraden Linie E O R ist auch E O P + R O P = 180°, demnach o = E O P. Auf gleiche Art wird gezeigt, dass e = M O E = O E N, und n = O N E sey. Da sonach wegen der Gleich- heit aller drei Winkel die Dreiecke E O N und e o n einander ähnlich sind, so folgt auch P : Q : R = Sin. O E N : Sin. E O N : Sin. O N E = Sin. e : Sin. o : Sin. n = o n : n e : e o; oder jede von den drei Kräften P, Q und R ist derjenigen Seite des oben genannten Dreieckes proportional, welche auf die Richtung dieser Kraft winkelrecht gezogen ist. Fig. 3. Tab. 4. Die letzte Methode gewähret vor der frühern den Vortheil, dass die verhältniss- mässige Grösse einer jeden Kraft unmittelbar aus der Grösse der darauf winkelrechten Linie beurtheilt werden kann, welches bei der Methode mittelst des Parallelogrammes nur nach mehrern Vorbereitungen geschehen konnte. §. 116. Da überhaupt aus den Regeln der Geometrie und Trigonometrie bekannt ist, dass in jedem Dreiecke, wenn von den drei Seiten und den drei Winkeln nur drei Stücke bekannt sind, die übrigen durch Zeichnung oder durch Rechnung gefunden werden kön- nen, so sind wir auch im Stande, für die Fälle, wenn entweder alle drei Kräfte oder nur zwei Kräfte und ein Winkel u. s. w. gegeben sind, die übrigen Stücke, nämlich die Win- kel, welche die Richtungen einschliessen, oder die dritte Kraft sammt den übrigen zwei Winkeln u. s. w. zu bestimmen. §. 117. Eine praktische Uiberzeugung von der Richtigkeit dieses Satzes gibt folgende Vor- richtung. Eine kreisrunde Scheibe Fig. 4. wird an der Peripherie in 360 gleiche Theile getheilt, und an dieselbe werden Rollen a, b, c angesteckt, die sich an der Peripherie willkührlich verschieben lassen. Uiber diese werden Schnüre aufgelegt, welche an einem Ende mit einander verbunden, am andern Ende aber mit Schlingen versehen sind, um Gewichte daran zu hängen. Fig. 4. Werden diese Rollen von 120 zu 120 Graden aufgestellt, wodurch die Peripherie in drei gleiche Theile getheilt wird, so wird man finden, dass durch drei gleiche Gewichte sich der gemeinschaftliche Knoten der Schnüre über den Mittelpunkt der Scheibe stellt. In diesem Falle wird nämlich das Dreieck N O E gleichseitig, und das Parallelogramm eine Raute von 4 gleichen Seiten, wovon die Seiten N O und M O einen Winkel von 120 Graden einschliessen. Stellt man die Rollen für P und Q auf eine Entfernung von 90 Graden, und nimmt P = 8 ℔ und Q = 6 ℔, so erhält das Dreieck O N E bei N einen rechten Winkel, dem-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 127. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/157>, abgerufen am 19.04.2024.