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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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[Gleich. 61] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville'schen Satzes.

Werthe 60) werden wir daher als die den Anfangswerthen 58)
nach s + d s entsprechenden Werthe der Dependenten zu be-
zeichnen haben. Gemäss den Differentialgleichungen 57) sind
die Werthe 59) und 60) durch die Gleichungen verknüpft
61) [Formel 1] ,
wobei in die gegebenen Functionen s1, s2 ... sn die Werthe 59)
der Dependenten und der entsprechende Werth der Indepen-
denten zu substituiren sind.

Nun wollen wir noch weiter gehen und uns statt einer
einzigen alle möglichen Werthereihen vorstellen, welche von
allen möglichen Anfangswerthen ausgehen. Von allen diesen
Werthereihen heben wir aber nur diejenigen hervor, für welche
die Anfangswerthe zwischen den Grenzen
S1 und S1 + d S1, S2 und S2 + d S2 ... Sn und Sn + d Sn
oder in einem irgendwie anders begrenzten nfach unendlich
kleinem Gebiete G liegen,1) in dem auch die Werthe 58) liegen.
Diejenigen Werthe der Dependenten, welche allen im Gebiete G
liegenden Anfangswerthen "nach s entsprechen", bilden wieder
ein nfach unendlich kleines Gebiet, welches das Gebiet g
heissen soll.

Dagegen soll mit g' das Gebiet bezeichnet werden, welches
alle Werthe der Dependenten umfasst, die allen im Gebiete G
liegenden Anfangswerthen "nach s + d s entsprechen". Das
Integrale des Productes d s1 d s2 ... d sn der Differentiale aller
Dependenten, über das ganze Gebiet g erstreckt, soll einfach mit
integral d s1 d s ... d sn,
dasselbe Integrale, über das Gebiet g' erstreckt, aber mit
integral d s'1 d s'2 ... d s'n,
bezeichnet werden. Diese Integralzeichen drücken also eine
Integration über alle Werthereihen aus, welche in dem nfach
unendlich kleinen Gebiete G entspringen. Dann ist nach
Gleichung 54)

1) Der Sinn dieser Ausdrücke ist der in § 27 ausführlich erörterte.

[Gleich. 61] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville’schen Satzes.

Werthe 60) werden wir daher als die den Anfangswerthen 58)
nach s + δ s entsprechenden Werthe der Dependenten zu be-
zeichnen haben. Gemäss den Differentialgleichungen 57) sind
die Werthe 59) und 60) durch die Gleichungen verknüpft
61) [Formel 1] ,
wobei in die gegebenen Functionen σ1, σ2 … σn die Werthe 59)
der Dependenten und der entsprechende Werth der Indepen-
denten zu substituiren sind.

Nun wollen wir noch weiter gehen und uns statt einer
einzigen alle möglichen Werthereihen vorstellen, welche von
allen möglichen Anfangswerthen ausgehen. Von allen diesen
Werthereihen heben wir aber nur diejenigen hervor, für welche
die Anfangswerthe zwischen den Grenzen
S1 und S1 + d S1, S2 und S2 + d S2 … Sn und Sn + d Sn
oder in einem irgendwie anders begrenzten nfach unendlich
kleinem Gebiete G liegen,1) in dem auch die Werthe 58) liegen.
Diejenigen Werthe der Dependenten, welche allen im Gebiete G
liegenden Anfangswerthen „nach s entsprechen“, bilden wieder
ein nfach unendlich kleines Gebiet, welches das Gebiet g
heissen soll.

Dagegen soll mit g' das Gebiet bezeichnet werden, welches
alle Werthe der Dependenten umfasst, die allen im Gebiete G
liegenden Anfangswerthen „nach s + δ s entsprechen“. Das
Integrale des Productes d s1 d s2 … d sn der Differentiale aller
Dependenten, über das ganze Gebiet g erstreckt, soll einfach mit
∫ d s1 d s … d sn,
dasselbe Integrale, über das Gebiet g' erstreckt, aber mit
∫ d s'1 d s'2 … d s'n,
bezeichnet werden. Diese Integralzeichen drücken also eine
Integration über alle Werthereihen aus, welche in dem nfach
unendlich kleinen Gebiete G entspringen. Dann ist nach
Gleichung 54)

1) Der Sinn dieser Ausdrücke ist der in § 27 ausführlich erörterte.

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[79/0097] [Gleich. 61] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville’schen Satzes. Werthe 60) werden wir daher als die den Anfangswerthen 58) nach s + δ s entsprechenden Werthe der Dependenten zu be- zeichnen haben. Gemäss den Differentialgleichungen 57) sind die Werthe 59) und 60) durch die Gleichungen verknüpft 61) [FORMEL], wobei in die gegebenen Functionen σ1, σ2 … σn die Werthe 59) der Dependenten und der entsprechende Werth der Indepen- denten zu substituiren sind. Nun wollen wir noch weiter gehen und uns statt einer einzigen alle möglichen Werthereihen vorstellen, welche von allen möglichen Anfangswerthen ausgehen. Von allen diesen Werthereihen heben wir aber nur diejenigen hervor, für welche die Anfangswerthe zwischen den Grenzen S1 und S1 + d S1, S2 und S2 + d S2 … Sn und Sn + d Sn oder in einem irgendwie anders begrenzten nfach unendlich kleinem Gebiete G liegen, 1) in dem auch die Werthe 58) liegen. Diejenigen Werthe der Dependenten, welche allen im Gebiete G liegenden Anfangswerthen „nach s entsprechen“, bilden wieder ein nfach unendlich kleines Gebiet, welches das Gebiet g heissen soll. Dagegen soll mit g' das Gebiet bezeichnet werden, welches alle Werthe der Dependenten umfasst, die allen im Gebiete G liegenden Anfangswerthen „nach s + δ s entsprechen“. Das Integrale des Productes d s1 d s2 … d sn der Differentiale aller Dependenten, über das ganze Gebiet g erstreckt, soll einfach mit ∫ d s1 d s … d sn, dasselbe Integrale, über das Gebiet g' erstreckt, aber mit ∫ d s'1 d s'2 … d s'n, bezeichnet werden. Diese Integralzeichen drücken also eine Integration über alle Werthereihen aus, welche in dem nfach unendlich kleinen Gebiete G entspringen. Dann ist nach Gleichung 54) 1) Der Sinn dieser Ausdrücke ist der in § 27 ausführlich erörterte.

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Zitationshilfe:	Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 79. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/97>, abgerufen am 19.04.2024.

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