Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

Bild:
<< vorherige Seite

I. Abschnitt. [Gleich. 30]
Wenn daher T > Tk ist, so kann d p / d v überhaupt nicht ver-
schwinden und daher auch nicht positiv werden; die Isotherme
fällt mit wachsendem v beständig ab. Wenn T < Tk ist, so
geht d p / d v durch Null zu einem negativen und dann noch-
mals durch Null wieder zu einem positiven Werthe über. Die
Ordinaten der Isotherme haben ein Minimum und ein Maximum.
Für T = Tk ist d p / d v sonst immer negativ; nur wird es ein
einziges Mal gleich Null und zwar für v = 3 b. Es nimmt also
p mit wachsendem v immer ab, aber an dieser Stelle nur um
eine Grösse, die unendlich klein höherer Ordnung ist, wenn
der Zuwachs von v unendlich klein ist. Diese Stelle nennt man
die kritische. Versehen wir die Werthe von v, p und T, welche
dieser Stelle entsprechen und welche man die kritischen nennt,
mit dem Index k, so ist also:
28) [Formel 1] .
Für den dazu gehörigen Werth von p, also den kritischen Druck,
findet man aus Gleichung 22) den Ausdruck:
29) pk = a / 27 b2.
vk, Tk und pk sind also drei reelle positive Werthe. Ersterer
ist grösser als das kleinste Volumen b, dessen die Substanz
überhaupt fähig ist. Aus Gleichung 27) findet man, wenn man
wieder T constant lässt:
[Formel 2] und man sieht leicht, dass für die kritischen Werthe d2 p / d v2
verschwindet, was zu erwarten war, da wir bereits sahen, dass
für die kritischen Werthe die Isotherme ein vollkommen regu-
läres Maximum-Minimum hat.

Noch einer algebraischen Eigenschaft der kritischen Grössen
will ich gedenken. Bringen wir in Gleichung 22) alle Grössen auf
dieselbe Seite des Gleichheitszeichens, schaffen die Brüche weg
und ordnen nach Potenzen von v, so geht diese Gleichung über in
30) [Formel 3] .
Dies ist bei gegebenen Werthen von p und T eine Gleichung
3. Grades für v. Wir wollen ihre linke Seite mit f (v) be-
zeichnen. Wenn es Werthe von p und T giebt, für welche für
denselben Werth von v ausser f (v) auch noch f' (v) und f" (v)

I. Abschnitt. [Gleich. 30]
Wenn daher T > Tk ist, so kann d p / d v überhaupt nicht ver-
schwinden und daher auch nicht positiv werden; die Isotherme
fällt mit wachsendem v beständig ab. Wenn T < Tk ist, so
geht d p / d v durch Null zu einem negativen und dann noch-
mals durch Null wieder zu einem positiven Werthe über. Die
Ordinaten der Isotherme haben ein Minimum und ein Maximum.
Für T = Tk ist d p / d v sonst immer negativ; nur wird es ein
einziges Mal gleich Null und zwar für v = 3 b. Es nimmt also
p mit wachsendem v immer ab, aber an dieser Stelle nur um
eine Grösse, die unendlich klein höherer Ordnung ist, wenn
der Zuwachs von v unendlich klein ist. Diese Stelle nennt man
die kritische. Versehen wir die Werthe von v, p und T, welche
dieser Stelle entsprechen und welche man die kritischen nennt,
mit dem Index k, so ist also:
28) [Formel 1] .
Für den dazu gehörigen Werth von p, also den kritischen Druck,
findet man aus Gleichung 22) den Ausdruck:
29) pk = a / 27 b2.
vk, Tk und pk sind also drei reelle positive Werthe. Ersterer
ist grösser als das kleinste Volumen b, dessen die Substanz
überhaupt fähig ist. Aus Gleichung 27) findet man, wenn man
wieder T constant lässt:
[Formel 2] und man sieht leicht, dass für die kritischen Werthe d2 p / d v2
verschwindet, was zu erwarten war, da wir bereits sahen, dass
für die kritischen Werthe die Isotherme ein vollkommen regu-
läres Maximum-Minimum hat.

Noch einer algebraischen Eigenschaft der kritischen Grössen
will ich gedenken. Bringen wir in Gleichung 22) alle Grössen auf
dieselbe Seite des Gleichheitszeichens, schaffen die Brüche weg
und ordnen nach Potenzen von v, so geht diese Gleichung über in
30) [Formel 3] .
Dies ist bei gegebenen Werthen von p und T eine Gleichung
3. Grades für v. Wir wollen ihre linke Seite mit f (v) be-
zeichnen. Wenn es Werthe von p und T giebt, für welche für
denselben Werth von v ausser f (v) auch noch f' (v) und f″ (v)

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0042" n="24"/><fw place="top" type="header">I. Abschnitt. [Gleich. 30]</fw><lb/>
Wenn daher <hi rendition="#i">T &gt; T<hi rendition="#sub">k</hi></hi> ist, so kann <hi rendition="#i">d p / d v</hi> überhaupt nicht ver-<lb/>
schwinden und daher auch nicht positiv werden; die Isotherme<lb/>
fällt mit wachsendem <hi rendition="#i">v</hi> beständig ab. Wenn <hi rendition="#i">T &lt; T<hi rendition="#sub">k</hi></hi> ist, so<lb/>
geht <hi rendition="#i">d p / d v</hi> durch Null zu einem negativen und dann noch-<lb/>
mals durch Null wieder zu einem positiven Werthe über. Die<lb/>
Ordinaten der Isotherme haben ein Minimum und ein Maximum.<lb/>
Für <hi rendition="#i">T = T<hi rendition="#sub">k</hi></hi> ist <hi rendition="#i">d p / d v</hi> sonst immer negativ; nur wird es ein<lb/>
einziges Mal gleich Null und zwar für <hi rendition="#i">v</hi> = 3 <hi rendition="#i">b</hi>. Es nimmt also<lb/><hi rendition="#i">p</hi> mit wachsendem <hi rendition="#i">v</hi> immer ab, aber an dieser Stelle nur um<lb/>
eine Grösse, die unendlich klein höherer Ordnung ist, wenn<lb/>
der Zuwachs von <hi rendition="#i">v</hi> unendlich klein ist. Diese Stelle nennt man<lb/>
die kritische. Versehen wir die Werthe von <hi rendition="#i">v, p</hi> und <hi rendition="#i">T</hi>, welche<lb/>
dieser Stelle entsprechen und welche man die kritischen nennt,<lb/>
mit dem Index <hi rendition="#i">k</hi>, so ist also:<lb/>
28) <hi rendition="#et"><formula/>.</hi><lb/>
Für den dazu gehörigen Werth von <hi rendition="#i">p</hi>, also den kritischen Druck,<lb/>
findet man aus Gleichung 22) den Ausdruck:<lb/>
29) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p<hi rendition="#sub">k</hi> = a</hi> / 27 <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sup">2</hi>.</hi><lb/><hi rendition="#i">v<hi rendition="#sub">k</hi>, T<hi rendition="#sub">k</hi></hi> und <hi rendition="#i">p<hi rendition="#sub">k</hi></hi> sind also drei reelle positive Werthe. Ersterer<lb/>
ist grösser als das kleinste Volumen <hi rendition="#i">b</hi>, dessen die Substanz<lb/>
überhaupt fähig ist. Aus Gleichung 27) findet man, wenn man<lb/>
wieder <hi rendition="#i">T</hi> constant lässt:<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> und man sieht leicht, dass für die kritischen Werthe <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">p / d v</hi><hi rendition="#sup">2</hi><lb/>
verschwindet, was zu erwarten war, da wir bereits sahen, dass<lb/>
für die kritischen Werthe die Isotherme ein vollkommen regu-<lb/>
läres Maximum-Minimum hat.</p><lb/>
          <p>Noch einer algebraischen Eigenschaft der kritischen Grössen<lb/>
will ich gedenken. Bringen wir in Gleichung 22) alle Grössen auf<lb/>
dieselbe Seite des Gleichheitszeichens, schaffen die Brüche weg<lb/>
und ordnen nach Potenzen von <hi rendition="#i">v</hi>, so geht diese Gleichung über in<lb/>
30) <hi rendition="#et"><formula/>.</hi><lb/>
Dies ist bei gegebenen Werthen von <hi rendition="#i">p</hi> und <hi rendition="#i">T</hi> eine Gleichung<lb/>
3. Grades für <hi rendition="#i">v</hi>. Wir wollen ihre linke Seite mit <hi rendition="#i">f (v)</hi> be-<lb/>
zeichnen. Wenn es Werthe von <hi rendition="#i">p</hi> und <hi rendition="#i">T</hi> giebt, für welche für<lb/>
denselben Werth von <hi rendition="#i">v</hi> ausser <hi rendition="#i">f (v)</hi> auch noch <hi rendition="#i">f' (v)</hi> und <hi rendition="#i">f&#x2033; (v)</hi><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[24/0042] I. Abschnitt. [Gleich. 30] Wenn daher T > Tk ist, so kann d p / d v überhaupt nicht ver- schwinden und daher auch nicht positiv werden; die Isotherme fällt mit wachsendem v beständig ab. Wenn T < Tk ist, so geht d p / d v durch Null zu einem negativen und dann noch- mals durch Null wieder zu einem positiven Werthe über. Die Ordinaten der Isotherme haben ein Minimum und ein Maximum. Für T = Tk ist d p / d v sonst immer negativ; nur wird es ein einziges Mal gleich Null und zwar für v = 3 b. Es nimmt also p mit wachsendem v immer ab, aber an dieser Stelle nur um eine Grösse, die unendlich klein höherer Ordnung ist, wenn der Zuwachs von v unendlich klein ist. Diese Stelle nennt man die kritische. Versehen wir die Werthe von v, p und T, welche dieser Stelle entsprechen und welche man die kritischen nennt, mit dem Index k, so ist also: 28) [FORMEL]. Für den dazu gehörigen Werth von p, also den kritischen Druck, findet man aus Gleichung 22) den Ausdruck: 29) pk = a / 27 b2. vk, Tk und pk sind also drei reelle positive Werthe. Ersterer ist grösser als das kleinste Volumen b, dessen die Substanz überhaupt fähig ist. Aus Gleichung 27) findet man, wenn man wieder T constant lässt: [FORMEL] und man sieht leicht, dass für die kritischen Werthe d2 p / d v2 verschwindet, was zu erwarten war, da wir bereits sahen, dass für die kritischen Werthe die Isotherme ein vollkommen regu- läres Maximum-Minimum hat. Noch einer algebraischen Eigenschaft der kritischen Grössen will ich gedenken. Bringen wir in Gleichung 22) alle Grössen auf dieselbe Seite des Gleichheitszeichens, schaffen die Brüche weg und ordnen nach Potenzen von v, so geht diese Gleichung über in 30) [FORMEL]. Dies ist bei gegebenen Werthen von p und T eine Gleichung 3. Grades für v. Wir wollen ihre linke Seite mit f (v) be- zeichnen. Wenn es Werthe von p und T giebt, für welche für denselben Werth von v ausser f (v) auch noch f' (v) und f″ (v)

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/42
Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 24. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/42>, abgerufen am 29.03.2024.